sicheres Ereignis = Omega?

19.02.2005, 23:04

Harrem

sicheres Ereignis = Omega?

Kurze Frage:

kann man folgern $\begin{eqnarray*} P(A)=1 \Rightarrow A=\Omega\text{ für }A\subset \Omega \end{eqnarray*}$ ?

In $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ könnten sich doch noch beliebige unsinnige Ereignisse befinden, oder?

19.02.2005, 23:09

reima

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Der Ergebnisraum ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Alle "unsinnigen" (= in diesem Fall unmöglichen) Ergebnisse sind deshalb nicht in ihm enthalten. Somit wäre die Schlussfolgerung richtig.

edit: Typo

19.02.2005, 23:11

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RE: sicheres Ereignis = Omega?
Kommt auf den Wahrscheinlichkeitsraum an! Im allgemeinen gilt es jedoch nicht.

Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} \Omega=[0,1] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ ... Borel-Maß auf [0,1]; für Maßtheorie-Unkundige: sowas wie Längenmessung aller Teilintervalle mit Summenbildung dieser Längen

Dann gilt z.B. für alle $\begin{eqnarray*} A_x:=[0,1]\setminus\{x\} \end{eqnarray*}$ mit 0 < x < 1 die Beziehung $\begin{eqnarray*} P(A_x)=1 \end{eqnarray*}$ , aber offensichtlich $\begin{eqnarray*} A_x\neq\Omega \end{eqnarray*}$ .

20.02.2005, 00:41

JochenX

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hmm, wie issn das?

zufallsexperiment: "denke dir eine reelle zahl...."
Großomega= IR, als laplaceexperiment, denn prinzipiell hat jede zahl die gleiche wahrscheinlichkeit gedacht zu werden...... (idealisiert)
aber es gibt überabzählbar unendlich viele ausgänge.
hat dann nicht prinzipiell jedes der elementarereignisse wahrscheinlichkeit 0?

P(Omega)=1, aber hätte nicht zum beispiel P(Omega\{2}) auch wahrscheinlichkeit 1 (offensichtlich nicht, aber wo ist der denkfehler?) (zumindest wäre jede wahrscheinlichkeit kleiner 1 falsch, oder?!)?

oder kann ich nicht mit einer überabzählbaren menge omega arbeiten wie gewohnt?

mfg jochen

20.02.2005, 10:38

Harrem

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Ja, das is ja so ne Eigenart stetiger Verteilungen, dass die Wahrscheinlichkeit von Einzelereignissen 0 ist, genauer gesagt $\begin{eqnarray*} \lim_{a\rightarrow b}P((a,b])=0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} P(\{b\})=0 \end{eqnarray*}$ .
Lustigerweise ist dann die Summe (abzählbar) unendlich vieler Nullen wieder Eins.

Ich denk, du betrachtest in so nem Fall einfach keine Einzelwahrscheinlichkeiten, sondern Intervalle, sonst macht das ganze auch nicht so richtig Sinn (überleg dir doch zum Bsp. mal die W'keit, dass deine Glühbirne in *genau diesem* Moment - auf die Femtosekunde - durchbrennt...)

Wenn jmd. ne bessere Erklärung hat - würd mich sehr interessierren!

20.02.2005, 11:08

kurellajunior

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@LOED: Die Überlegungen was bei Kombinationen von Null und Unendlich passieren kann, hatten wir doch schon zur Genüge hier im Board Augenzwinkern

Nicht wieder von vorne! Du Schlingel.

20.02.2005, 11:08

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Zitat:

Original von Harrem
Lustigerweise ist dann die Summe (abzählbar) unendlich vieler Nullen wieder Eins.

@Harrem

Nein, die "Summe abzählbar unendlich vieler Nullen" ist wieder Null. Stell hier nicht die Maßtheorie auf den Kopf!!! Forum Kloppe

(Mathematisch exakt gemeint ist natürlich die Wahrscheinlichkeit der abzählbaren Vereinigung von Ereignissen, die alle die Wahrscheinlichkeit Null haben.)

@LOED

Vermutlich meinst du, sprachlich formuliert, so etwas ähnliches wie ich im Beitrag vorher, nur gibt es einige mathematische Probleme:

1.Laplaceexperiment ist nur für endlich viele Versuchsausgänge denkbar.

2.Bei "Grenzübergang" auf reelle Zahlen ausgedehnt, im Sinne von "gleiche Wahrscheinlichkeit für gleich lange Intervalle, kriegst du die gleichmäßige Verteilung. Dieses Konzept ist aber nur für endliche Intervalle anwendbar. Auf ganz IR versagt es!

20.02.2005, 18:30

JochenX

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Zitat:

arthur wusste
1.Laplaceexperiment ist nur für endlich viele Versuchsausgänge denkbar.

das zumindest ist bei näherer betrachtung logisch.....
danke!

@kurellajunior: du hast recht..... ich wollte damit auch keinerlei erneute diskussionen lostreten......

mfg jochen

20.02.2005, 21:53

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Hier würde sich das Diskutieren aber lohnen, also deshalb füge ich für Maßtheorie-Unkundige mal noch einige Anmerkungen zu meinem Beispiel oben an:

Es ist $\begin{eqnarray*} P(\{x\})=0 \end{eqnarray*}$ für alle x, ebenso ist
$\begin{eqnarray*} P(A) = P\left(\bigcup_{x\in A}\{x\}\right) = \sum\limits_{x\in A}P(\{x\}) = \sum\limits_{x\in A}0 = 0 \end{eqnarray*}$
für alle abzählbaren Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

Dennoch gilt
$\begin{eqnarray*} P([0,1]) = P\left(\bigcup_{x\in[0,1]}\{x\}\right) = 1 \end{eqnarray*}$ ,
was nur scheinbar den obigen Ausführungen widerspricht. Denn man kann für überabzählbare Mengen $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ zwar
$\begin{eqnarray*} P(B) = P\left(\bigcup_{x\in B}\{x\}\right) \end{eqnarray*}$
schreiben, aber eben nicht
$\begin{eqnarray*} P\left(\bigcup_{x\in B}\{x\}\right) = \sum\limits_{x\in B}P(\{x\}) \end{eqnarray*}$ .
Einfach deshalb, weil man sowas wie überabzählbare Summen überhaupt nicht sinnvoll definieren kann, deshalb sollte man die rechte Seite dieser "Gleichung" ganz schnell streichen!

20.02.2005, 22:01

kurellajunior

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Wegen $\begin{eqnarray*} P([0,1]) \end{eqnarray*}$ : Ist $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ im Bereich der Rationalen Zahlen nicht abzählbar? Wir haben doch mal gelernt, dass eine Methode gibt, mit der sich alle ratioanlen Zahlen abzählen lassen, theoretisch. ISt das dann nicht abzählbar? Oder ist abzählbar nur dann, wenn man in endlicher Zeit mit zählen fertig würde?

20.02.2005, 22:06

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Naja, wenn ich $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ schreibe, dann meine ich die Menge der reellen Zahlen aus diesem Bereich - so ist das i.a. auch üblich. Augenzwinkern

20.02.2005, 22:16

JochenX

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Zitat:

Original von kurellajunior
Oder ist abzählbar nur dann, wenn man in endlicher Zeit mit zählen fertig würde?

na dann wäre ich aber mal gespannt, welche mengen bei dir abzählbar unendlich wären Augenzwinkern

selbst IN wäre es dann nicht.....

für die anordnung der rationalen zahlen gibt es mehrere ideen, das ist ein teil meines proseminars, dass ich nächstes semester mal halten darf.....

20.02.2005, 22:27

kurellajunior

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Zitat:

Original von LOED

Zitat:

Original von kurellajunior
Oder ist abzählbar nur dann, wenn man in endlicher Zeit mit zählen fertig würde?

na dann wäre ich aber mal gespannt, welche mengen bei dir abzählbar unendlich wären Augenzwinkern

selbst IN wäre es dann nicht.....

Ich habe weder die Begriffe (über)abzählbar (un)endlich davor oder dahinter nie gelernt. Ich musste sie mir immer wenn sie einer von euch erwähnt hat versuchen herauszusaugen... Daher das Missvertändnis...

20.02.2005, 22:29

JochenX

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inzwischen aber klar? sonst schick ich dir mal ne PN..... smile

20.02.2005, 22:43

kurellajunior

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Abzählbar - ist klar
Überabzählbar - wenn da son komisches etwas wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ mit bei is
unendlich - auch klar verwirrt

endlich - auch klar

Aber
(un)endlich abzählbar vs. abzählbar (un)endlich ?

Und was ist dann mit unendlich überabzählbar endlich, oder gibts das nicht.

Jan

PS: schreit fast nach nem neuen Thread...

20.02.2005, 22:52

JochenX

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nö, dann machen wiors doch direkt hier, damit es alle lesen können.....

endliche mengen sind klar......
unendliche mengen haben mal prinzipiell unendlich viele elemente, aber da gibts noch 2 unterteilungen: abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich.

abzählbar unendlich, wenn man sie irgendwie anordnen und abzählen kann, so dass man alle elemente irgendwann zählt (aber in unendlicher zeit)
mathematisch: es muss eine bijektion zwischen den natürlichen zahlen und der menge geben (d.h. es gibt ein erstes element, ein zweites.....)
2 mengen die abzählbar unendlich viele objekte haben, haben gleiche kardinalität, so z.b. "IN" und "IN vereinigt mit 0" (abbildung: 0->1, 1->2, 2->3.... bijektive abbildung von "IN vereinigt o" nach "IN"), auch wenns paradox klingt, diese beiden mengen sind gleichmächtig (auch wenn die eine ein element mehr zu haben scheint, unendlich machts möglich).
weitere abzählbare mengen wären: Z, Q, IN²,.....

überabzählbar unendlich: alle unendlichen mengen die nicht abzählbar sind....
Beispiele: IR, das reelle Intervall [0,1], die Potenzmenge von IN,......

mfg jochen

Zitat:

unendlich überabzählbar endlich

das ist lieb, aber das gibt es nicht

20.02.2005, 22:53

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Zitat:

Original von kurellajunior
PS: schreit fast nach nem neuen Thread...

Zunächst aber nach einem Studium der Begriffe:

http://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlbar
http://de.wikipedia.org/wiki/Kardinalzahl_%28Mathematik%29

20.02.2005, 23:18

kurellajunior

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Ja herr

Recht haben se, ich war zu faul, Tschuldigung.

Ich gelobe Besserung. Jan

20.02.2005, 23:58

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@kurellajunior

Da ich seit ca. einem Jahr nicht mehr in der Bildung tätig bin, musst du mir schon gestatten, dass ich hier gelegentlich den Lehrer

raushängen lasse - sind wohl Entzugserscheinungen. Hinsichtlich der Unterlassung dieses "Verhaltens" werde ich auch keine Besserung geloben. Big Laugh

21.02.2005, 08:40

kurellajunior

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Geht klar

,
Bin ja dankbar, wenn mich ab und zu jemand ein bisserl aufn Kopp hauen tut. Sonst flieg ich noch weg...

Jan

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