vektorprodukt ganz einfach?

20.02.2005, 10:47	schulkind	Auf diesen Beitrag antworten »
vektorprodukt ganz einfach? Hallo, ich will das Produkt v1 x v2 bilden (v1 und v2 sind Vektoren). Solange v1 und v2 3dimensional sind hab ich damit kein Problem. Da gibts ja diese Regel. Aber was mache ich, wenn ich nur 2 Dimensionen oder 4 Dimensionen habe?
20.02.2005, 11:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Vektorprodukt für zwei Vektoren ist eine Spezialität des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ . In anderen Dimensionen gibt es so etwas nicht. Im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ wird der durch $\begin{eqnarray} \vec{a}_1, \vec{a}_2, \ldots , \vec{a}_{n-1} \end{eqnarray}$ eindeutig bestimmte Vektor $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray} \operatorname{det}\left( \vec{x} , \vec{a}_1 , \vec{a}_2 , \ldots , \vec{a}_{n-1} \right) = \vec{x} \cdot \vec{b} \ \ \ \forall \; \vec{x} \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ (Satz von Riesz; rechts steht das Skalarprodukt) als Kreuzprodukt der $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a}_1, \vec{a}_2, \ldots , \vec{a}_{n-1} \end{eqnarray}$ bezeichnet: $\begin{eqnarray} \vec{b} = \vec{a}_1 \times \vec{a}_2 \times \ldots \times \vec{a}_{n-1} \end{eqnarray}$ Falls du übrigens im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ einen Normalenvektor von $\begin{eqnarray} \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ suchst, kannst du dafür einfach $\begin{eqnarray} \vec{a}^{\bot} = \begin{pmatrix} -a_2 \\ a_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nehmen.
20.02.2005, 12:52	schulkind	Auf diesen Beitrag antworten »
danke

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