eine Nullstelle gegegeben, weitere finden. Hilfe

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Memoli Auf diesen Beitrag antworten »
eine Nullstelle gegegeben, weitere finden. Hilfe
Hallo,

Ich brauche hilfe bei dieser Aufgabe:

f(x)= x^4 + bx² + c

Untersuchen Sie, welche Bedingungen für b und c gelten müssen, damit der Graph von f

b1) keine b2) vier Nullstellen besitzt! Geben Sie jeweils ein Beispiel an!


Kann mir einer da weiter helfen? Hilfe

Danke im Voraus

Mfg
Memoli
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: eine Nullstelle gegegeben, weitere finden. Hilfe
Substituiere mal t=x^2. Dann bekommst du eine quadratische Gleichung, die du mit Hilfe der pq-Formel lösen kannst. Betrachte b,c dabei als feste Zahlen.
Memoli Auf diesen Beitrag antworten »

was meinst du damit :Substituiere mal t=x^2

Iich weiss nicht wie ich vorangehen muss
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst die Nullstellen von f ausrechnen. Du mußt also die Gleichung ausrechnen. Dies ist aber in dieser Form nicht möglich. Jetzt substituierst (ersetzt) du t=x^2. Das heißt, du schreibst überall ein t hin, wo x^2 steht.

Als kleine Hilfe schreibe ich dir die Gleichung ein bißche um Augenzwinkern


EDIT
Noch als Ergänzung: die daraus resultierende Gleichung kannst du dann mit der pq-Formel lösen und du bekommst Lösungen für bestimmte t. Daraus mußt du dann wieder die passenden x-Werte ermitteln.
sommer87 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
mit hast du ja eine Funktion, die du nicht mit pq- oder abc-Formel berechnen kannst.

Ich nehme an, ihr habt bis jetzt immer Polynomdivision gemacht oder?
Eine Nullstelle suchen und die anderen ausrechnen?

Bei dieser (Biquadratischen-)Gleichung kannst du dein x² in der Gleichung durch t ersetzen...

zB bei setzte du und kannst dann schreiben.

Das ganze kannst du mit den Lösungsformeln berechnen und das erkebnis für t rechnest du dann wieder mit nach x um.

kannst du dich vll erinnern, dass ihr sowas schonmal im uricht gemacht habt?

\\EDIT: ok, wieder einer schneller Augenzwinkern
Memoli Auf diesen Beitrag antworten »

hmm ja haben wir mal im Unterricht gemacht aber ich hatte es nicht richtig verstanden und tu ich immer noch nicht ganz also:

f(x)= x^4 + bx² +c

t=x²

t² + bt + c=0

t1/2= b/2 +-

soo nun komm ich nicht mehr weiter plz um hilfe
 
 
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht schonmal gut aus Freude Es fehlt bei der pq-Formel nur noch ein Minuszeichen. Korrekt heißt es

Die Gleichung hat also entweder eine, zwei oder keine Lösung. Wann das der Fall ist, darfst du dir jetzt selbst überlegen Augenzwinkern Als Hinweis: Schau dir die Wurzel an.

Angenommen, b und c sind so gewählt, dass du eine Lösung für t rausbekommst. Dann wäre das t=-b/2. Es waren aber keine t, sondern x gesucht. Du müßtest es also wieder rücksubstituieren. Das heißt, du gehst den Weg wieder rückwärts.

Du hattest t=x^2 und wenn du jetzt t=-b/2 einsetzt bekommst du -b/2=x^2. Das mußt du jetzt nach x auflösen. Je nachdem, wie b gewählt ist, bekommst du zwei oder keinen x-Wert dafür.

Jetzt mußt du dir noch überlegen, was passiert, wieviele x-Werte du erhälst, wenn du zwei verschiedene bzw. kein t gefunden hast.

Ist dir das bis hierhin klar?
Memoli Auf diesen Beitrag antworten »

Danke ist mir etwas deutlicher geworden aber auf das Ergebniss komme ich immer noch nicht. verwirrt

Kannst die Aufgabe bitte jetzt Lösen mit allen Schritten die du gemacht hast damit ich es so villeicht nach vollziehen kann?
Seimon Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Calvin
Die Gleichung


statt x gehört da ein t hin! Augenzwinkern
Memoli Auf diesen Beitrag antworten »

ja da hat er sich wohl vertippt ist egal Augenzwinkern
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Danke seimon. Werde ich gleich verbessern Augenzwinkern

@Memoli

ganz lösen werde ich es dir nicht. Aber für den Teil, den ich angefangen habe, werde ich es mal durchziehen.

Du hast also als Lösung der Gleichung .

Angenommen die Diskriminante (das ist die Wurzel) wird null, dann gilt doch


Soweit klar? Somit hast du für c schon die Bedingung c>0.

Nun haben wir also und . Du siehst vermutlich, dass b1>0 und b2<0 ist.

Nun aber einen Schritt weiter zurück. Es war schließlich erstmal t gesucht. Da die Wurzel=0 ergibt, bleibt für und .

Zuletzt muß noch die Rücksubstitution durchgeführt werden. Du hast ja t=x^2 gesetzt. Das geht jetzt rückwärts.
ist nicht lösbar. Warum das so ist, bleibt dir überlassen. Ist leicht zu sehen smile
ist lösbar, denn es ist t2>0. Es ergibt sich also .

Jetzt bist du wieder dran Augenzwinkern Welcher Zusammenhang besteht in meinen Überlegungen zwischen b und c? Wieviele Nullstellen hast du damit für f bekommen?

Die gleichen Überlegungen mußt du jetzt noch für die Fälle anstellen, für die die Diskriminante >0 bzw. <0 wird.
Memoli Auf diesen Beitrag antworten »

puha, danke für deine Mühe und Erklärungen aber ich check dad nicht, hatte bei der aufgabe immer schwierigkeiten traurig

die aufgabe ist zu schwieeerig


böse



Nochmals Danke aber jetzt weiss ich etwas mehr als zuvor was mir aber leider nicht unbedingt weiter hilft unglücklich
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du denn verstanden, was es mit der Substitution auf sich hat? Wenn nicht, dann mache ich mal ein konkretes Beispiel:

Gegeben sei die Funktion Gesucht sind die Nullstellen. Die Nullstellen kannst du nicht mit der pq-Formel bestimmen, aber du hast das Glück, dass kein x^3 oder x in der Funktion vorkommt. Deshalb kommst du weiter, wenn du t=x^2 ersetzt. Es ergibt sich dann die Funktion g mit . Dies ist eine quadratische Gleichung, die man einfach mit der pq-Formel lösen kann.


.

Um nun auf die entsprechenden x-Werte zu kommen, muß die Rücksubstitution durchgeführt werden. Die Gleichung , also hat keine reelle Lösung. Deshalb ergeben sich dadurch für f keine Nullstellen.

Die Gleichung , also ist lösbar, und zwar ergibt sich . Und damit hast du die zwei Nullstellen der Funktion f gefunden.

Wenn ich jetzt die Brücke zu deiner Aufgabe schlage, dann ist hier b=-3 und c=-4. Für andere b,c bekommst du natürlich andere Lösungen. Wenn du für die quadratische Gleichung nach dem Substituieren z.B. keine Lösung bekommen hättest, dann hätte f logischerweise auch keine Nullstellen gehabt.
Wenn du z.B. für g(t)=0 zwei verschiedene positive t-Werte bekommen hättest, dann hätte f sogar 4 Nullstellen gehabt.

Du siehst, es hängt alles davon ab, wieviele Nullstellen g(t) hat bzw. ob die zugehörigen t positiv oder negativ sind.

Letztlich hat f entweder 4, 2 oder keine Nullstellen.
Memoli Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr, ich gehe nochmal alles genau durch und versuch es nochmal nach zu nach vollziehen.

Vielen Dank für deine Mühe! Prost

Mfg
Memoli
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

kann mir mal jemand den zusammenhang zum threadtitel erklären?
Zitat:
eine Nullstelle gegegeben, weitere finden. Hilfe


mfg jochen
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