Sigma - Summe aller positiven Teiler

Neue Frage »

20.02.2005, 16:59

Billi

Auf diesen Beitrag antworten »

Sigma - Summe aller positiven Teiler

Sigma (p^r) = 1+p^1+p^2....+p^r= p^(r+1) - 1 / p-1

Wie kann man das denn beweisen??? verwirrt

20.02.2005, 17:29

Seimon

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Sigma - Summe aller positiven Teiler
meinst du

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^r~p^k =\frac{p^{(r+1)}-1}{p-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p \neq 1 \end{eqnarray*}$ ?

Das ist die geometrische Reihe und der Beweis geht mittels vollständiger Induktion! (einfacher auch?? verwirrt

)

20.02.2005, 18:06

grumml

Auf diesen Beitrag antworten »

Geometrische Reihe $\begin{eqnarray*} s_n=\sum_{i=1}^{n}~a_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_i=a_1\cdot q^{i-1} \end{eqnarray*}$
Du bildest $\begin{eqnarray*} s_n\cdot q \end{eqnarray*}$ und ziehst die Summe $\begin{eqnarray*} s_n\cdot q \end{eqnarray*}$ von der Summe $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ ab.
Da sich bis auf 2 alle Terme gleichen, fallen diese Weg. In $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ ist der Term $\begin{eqnarray*} a_1\cdot q^{0}=a_1 \end{eqnarray*}$ und in $\begin{eqnarray*} s_n\cdot q \end{eqnarray*}$ der Term $\begin{eqnarray*} a_1\cdot q^{n} \end{eqnarray*}$ vorhanden, der jeweils nicht im anderen vorkommt.
Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} s_n-s_n\cdot q=a_1-a_1\cdot q^{n} \end{eqnarray*}$
Du klammerst $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ aus, teilst durch $\begin{eqnarray*} (1-q) \end{eqnarray*}$ und erhälst
$\begin{eqnarray*} s_n=a_1\frac{1-q^{n}}{1-q} \end{eqnarray*}$
Das mit $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ erweitert ergibt Deine Formel. (Ich glaube mich zu erinnern, dass die hier erwähnte für $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ und Deine für $\begin{eqnarray*} q>1 \end{eqnarray*}$ gilt...)

20.02.2005, 18:07

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Sigma - Summe aller positiven Teiler

Zitat:

Original von Seimon
Das ist die geometrische Reihe

Sagen wir besser "Summe einer geometrischen Folge", denn eine konvergente geometrische Reihe ist das in keinem Fall, da $\begin{eqnarray*} p\geq 2 \end{eqnarray*}$ hier eine Primzahl ist. Augenzwinkern

Vielleicht will Billi ja auch beweisen, warum $\begin{eqnarray*} \sigma(p^r) \end{eqnarray*}$ , das ist die Summe aller positiven Teiler von $\begin{eqnarray*} p^r \end{eqnarray*}$ , gleich dieser Summe ist?

20.02.2005, 19:00

Billi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Vielleicht will Billi ja auch beweisen, warum , das ist die Summe aller positiven Teiler von , gleich dieser Summe ist?

ja, genau Arthur Dent, das möchte ich beweisen.

20.02.2005, 19:08

Auf diesen Beitrag antworten »

Der einzige Primteiler der Zahl $\begin{eqnarray*} n=p^r \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , somit können alle Teiler von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auch nur den Primteiler $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ besitzen! Und das sind dann eben gerade die Potenzen $\begin{eqnarray*} 1, p, p^2, \ldots, p^{r-1}, p^r \end{eqnarray*}$ .

20.02.2005, 19:26

Billi

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie kommt man dann auf diese Formel für die Summe aller
Teiler von p^r?

p^(r+1) - 1 / p-1

Neue Frage »

Antworten »

Sigma - Summe aller positiven Teiler

Verwandte Themen