Fundamentalsystem finden

03.08.2007, 10:07	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Fundamentalsystem finden Hi! Ich würde gerne zu einer DGL der Form $\begin{eqnarray} -y''(x) + a(x)y(x) = 0 \end{eqnarray}$ mit einer unendlich oft diffbaren Funktion a(x) ein Fundamentalsystem finden. Weiß jemand, wie das geht? EDIT: Oder ist das im Allgemeinen gar nicht möglich? Ich gebe besser mal an, wie meine Funktion a aussieht: $\begin{eqnarray} a(x) = \cos(x) - \lambda \end{eqnarray}$ mit einem $\begin{eqnarray} \lambda\in\mathbb{C}. \end{eqnarray}$
03.08.2007, 12:24	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
So ganz allgemein nein. Das würde die ganze DGL-theorie ziemlich einfach machen, und die Betrachtung des Spezialfalls von Gleichungen mit konstanten Koeffizienten überflüssig (außer aus didaktischen Gründen). http://de.wikipedia.org/wiki/Reduktionsverfahren dürfte aber die allgemeine Lösung liefern, wenn man erstmal eine hat. Wobei ich mir auch nicht sicher bin, ob überhaupt die Lösung in geschlossener Form darstellbar sein muß.
03.08.2007, 12:42	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. Da fällt mir ein, dass man auch erstmal lambda = 0 wählen kann. Ich suche also eine Lösung der DGL y'' + cos(x)y = 0.
03.08.2007, 12:44	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Was hast du denn schon selber probiert, um eine Lösung zu bekommen? SCNR
03.08.2007, 13:20	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Blödmann. Ich habe die DGL z.B. in ein DGL-System 1ster Ordnung überführt und die Matrix (die natürlich von x abhängt) diagonalisiert. Hat mich aber nicht wirklich weitergebracht, weil die Trafomatrix ja leider nicht konstant ist, sondern auch von x abhängt.
03.08.2007, 22:04	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kenne mich damit nicht so wirklich aus. Ansätze für eine Lösung von verschiedenster Form hast du ja sicher schon selber probiert, meine waren nicht von Erfolg gekrönt. Auch Maple weiß keine Antwort, und das weiß bestimmt mehr zu dem Thema als ich, also probier ich es auch nicht weiter.. Das größte Problem an der Sache ist, daß soweit ich mich erinnern kann eben für solche allgemeinen DGL (selbst wenn sie linear sind) keine geschlossene Darstellung der Lösung existieren muß, ähnlich wie bei der Integration. Der Cosinus ist ja im Prinzip sowas wie eine Potenzreihe, also würde es mich nicht wundern, wenn man die Lösung nicht so schön aufschreiben kann. (apropos: schonmal nen Potenzreihenansatz probiert?) Das ganze ist im Grunde kein analytisches Problem, sondern ein algebraisches, deshalb wird das auch in der Regel nicht in DGL-Vorlesungen behandelt. Den Analytiker interessieren geschlossene Lösungsdarstellungen in der Regel nicht (es sei denn er will "schöne" Beispiele präsentieren). Falls du nach irgendwas googlen oder nachlesen willst, behandelt werden solche Fragestellungen unter dem Stichwort "Differentielle Algebra". Da hast du dann einen Ring R (beispielsweise Polynome oder Potenzreihen oder sowas) und auf diesem Ring eine Operation "Differentiation" mit gewissen Axiomen die formal aussehen wie die bekannten Ableitungsregeln. Die Frage nach der geschlossenen Integrierbarkeit von Funktionen ist jetzt die Suche nach Urbildern im Ring und auch Differentialgleichungen lassen sich als Gleichungen in diesem Ring untersuchen. Edit: Hab mal noch ein Beispiel einer harmlos aussehenden linearen DGL gebaut, wo es schon Probleme mit der Lösung gibt. Betrachte $\begin{eqnarray} y(x)=\int_0^x e^{-t^2}dt \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} y'(x)=e^{-x^2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y''(x)=-2xe^{-x^2} \end{eqnarray}$ . D.h. y erfüllt die lineare Differentialgleichung $\begin{eqnarray} y''+2xy'=0 \end{eqnarray}$ . Aber wenn man jetzt ein Fundamentalsystem geschlossen darstellen könnte, hätte man auch eine geschlossene Darstellung des Integrals, und die gibt es nicht (wie einem meistens in Analysis 2 gesagt wird, wobei den Beweis fast keiner kennt, denn der erfordert eben einiges an algebraischem Apparat).
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03.08.2007, 22:56	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine aufschlussreiche Antwort, Tomtomtomtom.

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