Abbildung von Eigenräumen

03.08.2007, 10:59

mylittlehelper

Abbildung von Eigenräumen

Hallo, mal wieder was neues von der Staatsexamensfront.

Ich bin mir erneut unsicher bei einem Beweis bzgl. linearer Abbildungen. Hier die Aufgabe:

Seien $\begin{eqnarray*} f,g:\;V\to V \end{eqnarray*}$ zwei lineare Abbildungen mit $\begin{eqnarray*} f\circ g=g\circ f \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bildet jeden Eigenraum von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ in sich ab.

Zunächst war ich mir unsicher, ob "in sich" auf den Eigenraum oder auf $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bezogen ist. Ich habe mich dann für den Eigenraum entschieden, weil er mir (u.a.) als Menge von Vektoren aus $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ sympathischer erscheint.

Definition Eigenraum (von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} E(\lambda)=\left\{ x\in V | x\neq 0, g(x)=\lambda x\right\} \end{eqnarray*}$

Jetzt mein Beweisversuch:

Sei $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ Eigenwert von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ beliebig, $\begin{eqnarray*} E(\lambda) \end{eqnarray*}$ Eigenraum von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Sei weiter $\begin{eqnarray*} \tilde x\in E(\lambda) \end{eqnarray*}$ beliebig. Nun gilt:

$\begin{eqnarray*} g(f(\tilde x))=f(g(\tilde x))=f(\lambda \tilde x)=\lambda\cdot f(\tilde x) \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} f(\tilde x)\in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(f(\tilde x))=\lambda\cdot f(\tilde x) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} f(\tilde x)\in E(\lambda) \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} \tilde x\in E(\lambda) \end{eqnarray*}$ beliebig, gilt die Behauptung. $\begin{eqnarray*} \Box \end{eqnarray*}$

Für Feedback bin ich wie immer sehr dankbar.

03.08.2007, 11:08

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abbildung von Eigenräumen
Hallo,

dein Beweis ist korrekt. Allerdings ist diese Definition ungünstig:

Zitat:

Original von mylittlehelper
Definition Eigenraum (von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} E(\lambda)=\left\{ x\in V | x\neq 0, g(x)=\lambda x\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(\lambda) \end{eqnarray*}$ ist kein Vektorraum und die Bezeichnung Eigenraum macht wenig Sinn. Vergleiche auch die Definition über den Kern einer linearen Abbildung.

Gruß, therisen

03.08.2007, 11:13

mylittlehelper

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abbildung von Eigenräumen
Grml, die Null fehlt böse

$\begin{eqnarray*} E(\lambda)=\left\{x\in V| x\neq 0, g(x)=\lambda x\right\}\cup \{0\} \end{eqnarray*}$

Das ist ein Eigenraum.

03.08.2007, 11:22

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, oder du nimmst die Einschränkung $\begin{eqnarray*} x\neq0 \end{eqnarray*}$ raus Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Abbildung von Eigenräumen

Verwandte Themen