Grenzen eines Integrals für verschobenen Zylinder

03.08.2007, 14:48	robson5000	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzen eines Integrals für verschobenen Zylinder Tag zusammen, die Aufgabe lautet: Unter Benutzung geeigneter Koordinaten berechnen Sie das Volumen desjenigen Teiles der Kugel K:x²+y²+z² kleiner gleich 4 der innerhalb des Zylinders x²-2*x+y²=0 liegt. Also habe ich hier eine Kugel mit Radius 2 und einen Zylinder mit Radius 1, der um 1 in positive x-Richtung verschoben ist. Mein Problem sind die Grenzen des Dreifachintegrals. Da der Zylinder mit Radius 1 ja um 1 nach x=1 verschoben ist, weiß ich nicht, wie ich die Grenzen für [Rho] ansetzen muss. Wäre der Mittelpunkt des Zylinders im Ursprung, wäre es ja leicht, nämlich 0<Rho<1, aber so?
04.08.2007, 17:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sei $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ der obere Halbkreis um $\begin{eqnarray} (1,0) \end{eqnarray}$ vom Radius $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ in der $\begin{eqnarray} xy \end{eqnarray}$ -Ebene, in Ungleichungen: $\begin{eqnarray} B: \ \ (x-1)^2 + y^2 \leq 1 \, , \ \ y \geq 0 \end{eqnarray}$ Die obere Halbkugel um $\begin{eqnarray} (0,0,0) \end{eqnarray}$ vom Radius $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ hat die Funktionsgleichung $\begin{eqnarray} z = f(x,y) = \sqrt{4 - x^2 - y^2} \, , \ \ x^2 + y^2 \leq 4 \end{eqnarray}$ Das gesuchte Volumen $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist daher $\begin{eqnarray} V = 4 \int_B \sqrt{4 - x^2 - y^2}~\mathrm{d}(x,y) \end{eqnarray}$ Der Faktor $\begin{eqnarray} 4 \end{eqnarray}$ rührt von der Symmetrie her. Denn einerseits berücksichtigen wir mit $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ den unteren Halbkreis nicht, was durch eine Verdoppelung des Integrals richtig gestellt werden muß. Andererseits ist auch die untere Halbkugel nicht miteinbezogen, was mit einer weiteren Verdoppelung in Ordnung gebracht wird. Man kommt nun mit modifizierten Polarkoordinaten weiter: $\begin{eqnarray} x = 2r \cos{t} \, , \ \ y = 2r \sin{t} \, , \ \ \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,t)} = 4r \end{eqnarray}$ Das ist gerade so gemacht, daß sich die Wurzel im Integranden oben möglichst einfach schreibt. Man erhält $\begin{eqnarray} V = 32 \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \int \limits_0^{\cos{t}} r \sqrt{1 - r^2} ~ \mathrm{d}r \right) ~ \mathrm{d}t \end{eqnarray}$ Wie man auf die Grenzen kommt, solltest du dir selbst an einer Zeichnung mit dem Halbkreis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ überlegen. Zeige, daß der vom Ursprung ausgehende Strahl, der mit der $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse den Winkel $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ einschließt, aus $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ eine Strecke der Länge $\begin{eqnarray} 2 \cos{t} \end{eqnarray}$ ausschneidet. Bis auf Rechenfehler habe ich $\begin{eqnarray} V = \frac{16}{3} \pi - \frac{64}{9} \end{eqnarray}$ erhalten.
06.08.2007, 13:59	robson5000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun gut,das hilft weiter, jedoch ergeben sich dann ja Grenzen, die noch mit dem Parameter t behaftet sind. Kann man den verschobenen Zylinder denn auch nur mit Rho ausdrücken, also zum Beispiel 0<Rho<2 für einen Zylinder mit Mittelpunkt im Ursprung mit Radius 2. Wie ist hier Rho zu wählen, wenn der Zylinder verschoben ist? Denn ich möchte ja nach z, Rho und abschließend Phi integrieren, also dz dRho dPhi !?
06.08.2007, 14:58	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Du integrierst nicht 1 über das Volumen, sondern die Höhe der Kugel über die Hälfte der Schnittfläche des Zylinders mit der x-y-Ebene.
07.08.2007, 14:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ robson5000 Beziehen sich deine Fragen auf meinen Ansatz? Oder hast du einen eigenen Ansatz gewählt? Wenn Letzteres der Fall ist, mußt du uns diesen Ansatz mitteilen (Bedeutung der Variablen, vorgenommene Substitutionen), denn niemand kann Fragen zu einem nicht beschriebenen Ansatz beantworten.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »