komplexe Zahlen in eulersche Form

03.08.2007, 14:53

marcel!

komplexe Zahlen in eulersche Form

Hey,

wie schreibt man komplexe Zahlen z = x + iy in die Form der e-Funktion um? Ich habe versucht einige Bsp. nachzuvollziehen, konnte aber keine klaren Regeln schlussfolgern...

z.B: $\begin{eqnarray*} z=(1+i)^4 \end{eqnarray*}$

Danke!

03.08.2007, 15:11

mYthos

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$\begin{eqnarray*} z = x + i \cdot y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r = \sqrt{x^2 + y^2} \ \ldots \ \text{Betrag, Zeigerlänge} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi = \arctan \frac {y}{x} \ bzw. \ [ \phi = \arccos \frac {x}{r} \ und \ \phi = \arcsin \frac {y}{r} ] \ \text{Winkel des Zeigers mit der positiven reellen Achse} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = r \cdot e^{i \cdot \phi} \end{eqnarray*}$

Hinweis:

Da der Tangens eine Periode von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ besitzt, muss noch mittels der SIN- oder COS- Funktion verifiziert werden (Vorzeichen!), in welchem Quadranten der Winkel liegt!

Die 4. Potenz kannst du nun mittels der normalen Potenzgesetze berechnen und danach - wenn nötig - wieder auf die Binomialschreibweise umformen. Dazu gilt ja auch:

$\begin{eqnarray*} e^{i \cdot \phi} = \cos \phi + i \cdot \sin \phi \end{eqnarray*}$

mY+

03.08.2007, 16:37

marcel!

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Super

Danke, mYthos!

03.08.2007, 16:46

marcel!

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Habe gerade den Fall, dass $\begin{eqnarray*} \phi = -\pi/3 \end{eqnarray*}$ - wie genau verändert sich nun der Exponent der e-Funktion?

$\begin{eqnarray*} -\pi/3 \end{eqnarray*}$ von arctan liegt im 3. Quadranten.

03.08.2007, 18:03

tigerbine

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Verstehe deine Frage leider nicht. Was spricht gegen Einsetzen in

$\begin{eqnarray*} e^{i \cdot \phi} = \cos \phi + i \cdot \sin \phi \end{eqnarray*}$

03.08.2007, 19:10

marcel!

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$\begin{eqnarray*} (-1 + i\sqrt{3})^{3} \end{eqnarray*}$

Beim Berechnen von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ komme ich auf $\begin{eqnarray*} -\pi/3 \end{eqnarray*}$ . Das richtige Ergebnis wäre aber lt. Lösung $\begin{eqnarray*} 2\pi/3 \end{eqnarray*}$ .

Kanns mir noch nicht so recht erklären, woran es liegt...

03.08.2007, 19:24

tigerbine

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Schauen wir uns erstmal die Basis an:

$\begin{eqnarray*} z = -1 + i \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Das liegt im II Quadranten. Der Winkel ist:

$\begin{eqnarray*} \phi = \arctan (-\frac {\sqrt{3}}{1}) \end{eqnarray*}$

oder mit r = 2

$\begin{eqnarray*} \phi = \arccos(- \frac{1}{2}) = \frac{2}{3}\pi \end{eqnarray*}$

Potenzieren bedeutet nun, dass für z³ gilt:

$\begin{eqnarray*} r_{neu} = r^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi_{neu} = 3\cdot \phi = 2\pi \end{eqnarray*}$

03.08.2007, 19:30

marcel!

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Aber warum nimmst du denn nun nicht für $\begin{eqnarray*} \phi = arctan(-\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ ???

03.08.2007, 19:34

tigerbine

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Weil ich die klassischen Werte eben nur für sin und cos im Kopf habe. aber bitte, ein Blick in die Formelsammlung sagt:

$\begin{eqnarray*} \arctan(-\sqrt{3}) = \frac{2}{3}\pi \end{eqnarray*}$

03.08.2007, 19:40

marcel!

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mit dem Rechner komme ich aber auf $\begin{eqnarray*} -\pi/3 \end{eqnarray*}$ ?!

03.08.2007, 19:42

tigerbine

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Zitat:

mythos
Da der Tangens eine Periode von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ besitzt, muss noch mittels der SIN- oder COS- Funktion verifiziert werden (Vorzeichen!), in welchem Quadranten der Winkel liegt!

Aber auch der Tangens ist eine periodische Funktion. Wie ich bereits erwähnte, liegt der Winkel im Quadrant II und nicht IV. Dein Winkel liegt aber dort.

03.08.2007, 20:17

mYthos

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Gerade deswegen - weil eben die Troubles bereits vorherzusehen waren - habe ich die Sache mit dem SIN und dem COS ins Treffen gebracht. Rechnest du mit diesen, ist alles in Ordnung und eindeutig!!

$\begin{eqnarray*} \cos \phi = -\frac{1}{2} \ \ [\to \frac{x}{r}] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin \phi = \frac{\sqrt{3}}{2} \ \ [\to \frac{y}{r}] \end{eqnarray*}$

Daraus folgt eindeutig, dass der Winkel im 2. Quadranten liegt und daher $\begin{eqnarray*} \frac{2 \pi}{3} \end{eqnarray*}$ (120°) beträgt.

mY+

03.08.2007, 20:21

tigerbine

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Quadrant II sieht man auch direkt (aber gleicher Argumentationsweise ) aus

$\begin{eqnarray*} z = -1 + i \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Bei TR und arcsin/arccos/arctan ist immer Vorsicht geboten. Augenzwinkern

04.08.2007, 00:47

Calvin

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Arthur hat das mal sehr gut zusammengefasst

05.08.2007, 22:12

marcel!

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Danke, dann werde ich ab sofort nur noch mit $\begin{eqnarray*} arccos(x/r) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} arcsin(y/r) \end{eqnarray*}$ rechnen smile

06.08.2007, 09:25

Leopold

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Das wird dir auch nicht viel helfen. Nehmen wir $\begin{eqnarray*} z = -1 - \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} r = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , und die Formeln liefern:

$\begin{eqnarray*} \arccos{\frac{-1}{\sqrt{2}}} = \frac{3}{4} \pi \, , \ \ \arcsin{\frac{-1}{\sqrt{2}}} = - \frac{1}{4} \pi \end{eqnarray*}$

Und nun?

Richtig ist $\begin{eqnarray*} \varphi = \frac{5}{4} \pi \end{eqnarray*}$ .

Dieses Problem läßt sich eben nicht rein formal lösen. Man muß sich zunächst vergewissern, in welchem Quadranten $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ liegt. Dann muß man, die Periodizität von Sinus und Cosinus verwendend, den zum Quadranten passenden Winkel finden (siehe die Fallunterscheidungen in Arthurs Beitrag).

Ich empfehle eine Zeichnung. Denken, nicht rechnen!

EDIT
Schreibfehler ausgebessert.

06.08.2007, 09:38

tigerbine

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Etwas zum Thema Zeichnung (wie immer nur geklaut Augenzwinkern

)

http://home.fonline.de/fo0126/geometrie/geo37.htm

07.08.2007, 00:12

marcel!

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Also laut Arthurs Zusammenfassung reicht lediglich die Fallunterscheidung aus, ob $\begin{eqnarray*} b\geq 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b < 0 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \varphi=\left\{\begin{array}{ll}\arccos\displaystyle\frac{a}{r} &\;\mbox{für}\,b\geq 0\\[3mm] 2\pi-\arccos\displaystyle\frac{a}{r} &\;\mbox{für}\,b<0\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Ist das so ausreichend bzw. richtig?

Grüße

07.08.2007, 23:55

marcel!

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*Thema-nach-oben-schiebend* Augenzwinkern

Wäre wichtig, wenn mir einer meine Frage aus meinen letzten Beitrag beantworten könnte

08.08.2007, 01:25

tigerbine

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Zitat:

Original von marcel!
*Thema-nach-oben-schiebend* Augenzwinkern

Das haben wir aber nicht so gerne Augenzwinkern

Wenn's Dir so wichtig ist, hättest du auch "kompletter" zitieren können.

Zitat:

Artur Dent
Die Berechnung des Arguments einer komplexen Zahl z ungleich Null bei gegebener algebraischen Darstellung

$\begin{eqnarray*} z=a+ib \end{eqnarray*}$

ist oben falsch (im Sinne von nicht allgemeingültig) angegeben. Wenn wir $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ für die Polardarstellung

$\begin{eqnarray*} z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi) \end{eqnarray*}$

ermitteln wollen, so ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ wegen der Periodizität $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ nur dann eindeutig, wenn wir uns auf ein bestimmtes Winkelintervall der Länge $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ festlegen - das sei hier mal der Bereich $\begin{eqnarray*} \varphi\in[0,2\pi] \end{eqnarray*}$ .

Dann bestimmt man $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ gemäß $\begin{eqnarray*} r=\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \varphi=\left\{\begin{array}{ll}\arccos\displaystyle\frac{a}{r} &\;\mbox{für}\,b\geq 0\\[3mm] 2\pi-\arccos\displaystyle\frac{a}{r} &\;\mbox{für}\,b<0\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Die Frage kannst Du dir eigentlich selbst beantworten. Wie ist Arthur (vielleicht )denn auf diese Unterscheidung gekommen? Leopold und ich haben Dich ja schon mal auif den Einheitskreis aufmerksam gemacht.

Überleg Dir eben mal Intervalle, auf denen der Cosinus bijektiv ist.

08.08.2007, 02:13

marcel!

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Ach so! Für b<0 bezieht sich der Winkel auf die falsche Seite der Realteilachse

08.08.2007, 11:56

tigerbine

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Falsche Seite der Achse...

QI: $\begin{eqnarray*} a \geq 0,~ b\geq 0 \end{eqnarray*}$

QII: $\begin{eqnarray*} a \leq 0,~ b\geq 0 \end{eqnarray*}$

QIII: $\begin{eqnarray*} a \leq 0,~ b\leq 0 \end{eqnarray*}$

QIV: $\begin{eqnarray*} a \geq 0,~ b\leq 0 \end{eqnarray*}$

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