neulich im Supermarkt

04.08.2007, 09:38

Ling-Ling

neulich im Supermarkt

Zitat:

Ein Supermarkt hat am Vormittag 4 Stunden geöffnet. Durchschnittlich kommen 500 Kunden. An einer Kasse dauert es 75 Sekunden um einen Kunden zu bedienen. Wieviele Kassen müssen mindestens geöffnet shaben, damit die Wahrscheinlichkeit für einen Kunden, an der Kasse nicht sofort bedient zu werden, unter 10 Prozent liegt?

Finde einfach keinen vernünftigen Ansatz.

04.08.2007, 11:03

PrototypeX29A

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Gibt es irgendwelche Angaben über die Verteilung der Kundenankünfte?

04.08.2007, 11:46

Ling-Ling

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Zitat:

Original von PrototypeX29A
Gibt es irgendwelche Angaben über die Verteilung der Kundenankünfte?

nö

04.08.2007, 13:04

system-agent

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dann kann man wohl die übliche annahme machen, normalverteilung...

04.08.2007, 14:16

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Normalverteilung für die Kundenankünfte ist hier nicht passend, sondern besser Poissonverteilung für die Kundenanzahl:

Die Anzahl der in einem Zeitraum der Dauer T eintreffenden Kunden ist poisson-verteilt mit Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda\cdot T \end{eqnarray*}$ . Die hier auftretende Intensität $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ bekommt man aus der Angabe "durchschnittlich 500 Kunden in 4 Stunden" heraus.

19.08.2007, 12:57

thebasteljahn

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Ich hatte zwar noch keine Stochastik, aber ich würde doch sagen, dass man die 4 Std. zuerst auf Sekunden runterbrechen sollte. Somit ergeben sich 14400 Sekunden. Diese teilt man durch die einzelne Kassendurchgangszeit von 75 Sekunden. Dort kommen 192 Durchgänge pro Kasse heraus. Nun Rechne ich, wie oft 192 in 500 passt - 2 mal. Da es aber noch Kunden übrig sind, die nicht sofort bedient werden, muß noch eine Kasse zusätzlich geöffnet werden, sonst wäre die Spät-Bedienquote bei über 10 %.

06.09.2007, 20:13

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So einfach geht es nicht, thebasteljahn. unglücklich

Es bezeichne $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ die Anzahl der offenen Kassen. Wann wird nun ein Kunde an der Kasse nicht sofort bedient? Nun, wenn in den letzten 75 Sekunden vor diesem Kunden bereits mindestens $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Kunden zur Kasse gingen, dann muss er garantiert warten. Auch im Fall von weniger als $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Kunden in den letzten 75 Sekunden sind Situationen denkbar, dass er warten muss (wenn nämlich vor 75 Sekunden schom "Stau" an den Kassen war...). Letzterer Fall ist aber bei den Daten hier zunächst vernachlässigbar, dazu später vielleicht mehr.

Wieviel Kunden sind nun in den letzten 75 Sekunden gekommen? Da knüpfe ich an meinen letzten Beitrag an, diese Anzahl $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist poissonverteilt mit Parameter

$\begin{eqnarray*} \mu = \lambda \cdot 75~s = \frac{500}{14\,400~s}\cdot 75~s = \frac{125}{48} \end{eqnarray*}$ .

Laut Aufgabenstellung wird nun $\begin{eqnarray*} 0.1 \geq P(X\geq N) = 1- P(X\leq N-1) \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} 0.9 \leq \sum_{k=0}^{N-1} ~ P(X=k) = \sum_{k=0}^{N-1} ~ \frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu} \end{eqnarray*}$

gefordert, was für $\begin{eqnarray*} N\geq 6 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. Also 6 Kassen sollten es schon sein.

P.S.: Nicht wundern über meine Antwort in einem fast einen Monat alten Thread, aber ich arbeite gerade mal Altschulden ab. Augenzwinkern

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