Faltung zweier Sprungfunktionen

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HansB Auf diesen Beitrag antworten »
Faltung zweier Sprungfunktionen
Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe vor mir, bei der ich einfach nicht weiß wie ich diese lösen soll.

Und zwar soll man die Faltung zweier Sprungfunktionen berechnen, also:


Gruß Hans
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Die Sprungfunktion ist ja

Wenn du diese Definition jetzt benutzt bzw. dir den Integrand mal aufzeichnest, kannst du die Integralgrenzen und den Integrand anpassen. Dann wirst du schnell feststellen, dass das Integral divergiert.
 
 
HansB Auf diesen Beitrag antworten »

Gilt folgendes?

= \int_{0}^{\infty}~\Theta(a-t)~dt
HansB Auf diesen Beitrag antworten »

So sollte es aussehen:

Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer *fluch* Ich hätte auf meinen ersten Gedanken hören sollen.

Ich muss meine erste Antwort nochmal korrigieren. Das Integral divergiert nicht. Zeichne dir mal die Funktion auf. Dann siehst du, dass du die obere Integralgrenze auch noch anpassen kannst. Damit kriegst du ein ganz einfaches Integral.
HansB Auf diesen Beitrag antworten »

Also soweit ich das sehe ist zum ersten die Funktion an der y-Achse gespiegelt, und desweiteren um a in die Vergangenheit verschoben:

Die Funktion sollte also so aussehen:



Das heißt das Integral müßte so aussehen:



soweit richtig?

EDIT von Calvin
Zeilenumbrüche aus LaTeX entfernt
HansB Auf diesen Beitrag antworten »

Als Ergebniss käme dabei a heraus, jedoch hab ich von meinem Prof die folgende Lösung:

WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt (nach calvins Definition)



also



Damit folgt

HansB Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Erklärung, aber an der Stelle:

Zitat:
Original von WebFritzi





komm ich nicht mehr mit. Wieso ist dort wieder eine Fallunterscheidung vorhanden? Ich dachte an dieser Stelle steht nur noch das Integral?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir die Menge, deren charakteristische Funktion in der Zeile drüber noch steht, doch einmal an. ist nur dann nicht leer, wenn .
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faltung zweier Sprungfunktionen
Zitat:
Original von HansB
Und zwar soll man die Faltung zweier Sprungfunktionen berechnen, also:

Also dass was du da hingeschrieben hast ist sicher keine Faltung. Überprüf mal die Integrationsgrenzen und den Integrator. Bei dir steht links vom "=" eine Funktion von t, hingegen rechts eine von a.


Edit (08:57): Also mal ausfürhlicher: Die zitierte Gleichung fängt schon falsch an, denn die Faltung zweier Funktionen (hier die der Heaviside-Funktion mit sich selbst) ausgewertet an einer Stelle t muss man schon so schreiben



Hinter dem "=" steht nun die Faltung wie ich sie kenne, verwende und immer wieder lese. Mag sein, dass man auch als Grenzen wählen darf - mit welchem Hintergrund auch immer. Augenzwinkern

Wenn man es genau nimmt muss man nämlich wie folgt interpretieren



wobei dieses Bsp. wieder für die Wahl meiner Integrationsgrenzen spricht. Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Dual Space

Deine Bemerkungen hinsichtlich der Variablenkonfusion im Eröffnungsbeitrag von HansB waren wichtig und richtig. Dann geht es bei dir aber auch ein bißchen durcheinander.


@ HansB

Halten wir fest, worum es geht. Gegeben ist zunächst die Funktion



Und nun soll deren Faltung mit sich selbst bestimmt werden. Dazu ist



zu berechnen. Der Integrationsbereich ist hier tatsächlich die ganze reelle Zahlengerade (siehe auch den Wikipedia-Artikel). Der Integrand verschwindet allerdings für negative , einfach weil der Faktor für solche Null wird. Effektiv reicht es daher,



zu berechnen. Das liegt hier aber an der speziellen Funktion und ist keinesfalls immer richtig. Und weil ist für , kann man sogar noch einfacher



schreiben. Und jetzt sollte man eine Fallunterscheidung hinsichtlich durchführen.


Sei zunächst .
Für ist dann , also . Der Integrand verschwindet, also auch das Integral. Es gilt daher




Sei dann .
Für ist , also , für dagegen ist , also . Es reicht daher, über das Intervall zu integrieren:




Zusammenfassend gilt



Wer gerne mit Funktionen als den Objekten arbeitet und charakteristische Funktionen liebt, kann dafür auch



schreiben.


Das ist natürlich ganz das Ergebnis von WebFritzi. Nur habe ich seine Darstellung auf elementare Ebene heruntergeholt. Vielleicht trägt dieser alternative Weg zum besseren Verständnis bei. Versuche dann noch einmal, den abstrakteren Zugang von WebFritzi nachzuvollziehen.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Okok... ich muss zugeben, dass es dort oben bei mir ziemlich wild (und teilweise nicht ganz korrekt) zuging. Mein obiges Edit gilt nur für Funktionen mit Definitionsbereich . Forum Kloppe Danke für den Hinweis, Leopold.


Naja ... wie auch immer: Integriert wird über den Durchschnitt der Definitionsbreiche der zu faltenden Funktionen. Hier die ganze reelle Achse. Und genau der Grund den Leopold anführt um die Integration auf die positive Achse einzuschränken liefert auch, dass hier die Integration von 0 bis x ausreichend ist. (Das trägt zur Lösung der Aufgabe aber nicht wesentlich bei.)

Wollte nur sicher gehen, dass ich dir keine Faltungs-Flausen in den Kopf gesetzt habe. Augenzwinkern
HansB. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo danke für eure Antworten. Ich war erst mal im Urlaub und schreibe daher erst jetzt. Nachdem ich alle Antworten einmal durchgegangen bin, denke ich ich habe daas verstanden. Ich komme auf die selben Lösungen.

Jetzt habe ich nur das Problem das mein Prof es in seiner Lösung anders schreibt. Und zwar gibt er die Lösung an mit:



an. Ist das vielleicht das selbe?

Grüße Hans
HansB. Auf diesen Beitrag antworten »

Nun habe ich noch eine ähnliche Aufgabe. Hier sind die Signale und zu falten.

Wenn ich es mir aufzeichne und die Schritte von den Lösungswegen folge gelange ich zu der Faltung: \int_{0}^{t}~sin(\tau)~d\tau

Daraus ergibt sich die Lösung . Mein Prof hingegen schreibt wieder .
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du uns freundlicherweise auch verrätst, was sigma für eine Funktion ist...
HansB. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Sigma ist die Sprungfunktion.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt nicht DIE Sprungfunktion. Wo springt sie, und welche Werte nimmt sie an.
HansB. Auf diesen Beitrag antworten »

In den Aufgabe ist nichts weiter angegeben, also gehe ich davon aus das sie bei t=0 von 0 auf eins springt.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt für t <> 0.
HansB. Auf diesen Beitrag antworten »

Danke
HansB. Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, also ich hab da noch einmal drüber nachgedacht und dabei ist mir aufgefallen, dass es ja schon fast peinlich war die Frage zu stellen. Natürlich ist es das selbe smile . Naja danke nochmal für die Hilfe.

Gruß Hans
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