Basiswechsel von Vektorräumen

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mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »
Basiswechsel von Vektorräumen
Hallo, die Vorbereitung meiner Prüfung in linearer Algebra kostet mich (und euch wahrscheinlich auch schon) den letzen Nerv.

Ich habe mal wieder ein arges Verstädnisproblem bei einem Beweis. Hier zunächst die Formulierung:

Zeigen Sie, zu jeder linearen Abbildung eines endlich-dimensionalen -Vektorraums in sich gibt es eine Basis von , bezüglich welcher die Matrix von obere Dreiecksgestalt hat.


So, jetzt mal die Klärung was ich weiß und worans scheitert. Ich weiß, dass man nach Steinitzschem Austauschsatz im Prinzip jede Basis hinbekommen kann, die man gerne hätte (sehr salopp, ich weiß).
Zudem ist jede Matrix in obere Dreiecksgestalt per Gauß-Algorithmus überführbar. Theoretisch müsste ich jetzt diese beiden Überlegungen sinnvoll verknüpfen, was daran scheitert, dass ich nicht so recht weiß, wo jetzt die Basis genau auf die Matrix und ihre Eintragungen wirkt. Mir fehlt quasi die Ausgangsgleichung für meine Überlegungen.

Danke schonmal vorab fürs Grübeln (falls ihr das überhaupt benötigt Augenzwinkern ).
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basiswechsel von Vektorräumen
Trigonalisierung
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basiswechsel von Vektorräumen
Zitat:
Zudem ist jede Matrix in obere Dreiecksgestalt per Gauß-Algorithmus überführbar.


Das ist aber nicht die gesuchte Matrix. Deine Dreiecksmatrix soll Ähnlich zu A sein, die Link von sqrt(2). Beim Gaußalgo, Kurzform ist das aber nicht der Fall. Also bitte diese Dreieckmatrizen nicht verwechseln.

Beweis µA hat Grad 2
mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, das hab ich jetzt kapiert. Ich suche also Basiswechselmatrizen derart, dass in der i-ten Spalte nur oberhalb (einschließlich) der Hauptdiagonalen Einträge verschieden von Null hat. Das Produkt dieser Matrizen ist dann die gesuchte Transformationsmatrix.
Ich muss also nachweisen, dass die exisitieren. Nur wie schaffe ich das allgemein? Trivial scheint es ja nicht zu sein, da es sowohl trigonalisierbare als auch nicht-trigonalisierbare Endomorphismen über Körpern gibt. Oder macht da eine Ausnahme?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, du hast ja als Kriterium gehesehen, dass eine Matrix genau dann trigonalisierbar ist, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Ja, da ist besonders...
mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Ach da war doch was Augenzwinkern Dank dir und Gauß für den Beweis.
 
 
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