Ungleichungskette?

04.08.2007, 19:24	shadow2007	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichungskette? Hi, ich hab da ein Problem bei zwei Ungleichungsketten: 1. Aufgabe: Zeige das gilt: $\begin{eqnarray} R = \frac{R1R2}{R1+R2} < R1 \end{eqnarray}$ für R1; R2 > 0 R1 ist hier Variable R mit Index 1 usw. Musterlösung: $\begin{eqnarray} \frac{R1}{1+ \frac{R1}{R2} } < R1 \end{eqnarray}$ Verstehe nicht wie man auf das Ergebnis kommt? Mein Rechenweg: $\begin{eqnarray} R = \frac{R1R2}{R1+R2} < R1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R1 R2 < R1 * ( R1 + R2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R1 * R2 < R1² + R1R2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 < R1² \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 < R1 (W) \end{eqnarray}$ Das Ergebnis müsste doch korrekt sein oder mache ich was Falsch? Und wie kommen die auf das Ergebnis der Musterlösung? Oder muss man Ungleichungen allgemein anders behandeln als ich das mache? (Aufgaben wurde der Allgemein behandelten Schulmathematik entnommen) Hier noch Aufgabe 2: Zeige das gilt: $\begin{eqnarray} 0 < \frac{1}{x^{2} +1} \leq 1 \end{eqnarray}$ für alle x Musterlösung: $\begin{eqnarray} x^{2} > 0 \end{eqnarray}$ Auch hier wieder mein Rechenweg: Zuerst aufspalten und dann vereinfachen: $\begin{eqnarray} 0 < \frac{1}{x^{2} +1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 < 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^{2} +1} \leq 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 \leq x^{2} +1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 \leq x^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 \leq X \end{eqnarray}$ Und wie kommt man jetzt auf $\begin{eqnarray} x^{2} > 0 \end{eqnarray}$ ? Schon mal vielen Dank für eure Hilfe
04.08.2007, 19:29	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
zur 1. aufgabe: einfach durch R2 ungleich 0 kürzen. zur 2. aufgabe: deine lösung sieht doch gut aus. die wahrheit der ersten ungleichung musst du mit x^2+1 > 0 begründen. deswegen darfst du nämlich mit x^2+1 multiplizieren ohne das ungleichungszeichen zu ändern. die wahrheit der zweiten ungleichung ist beim vorletzten schritt schon trivial. der letzte schritt ist jedoch falsch. denn x^2 ist im bereich der reellen zahl doch immer nichtnegativ.
04.08.2007, 20:16	shadow2007	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi tmo, danke für die schnelle Antwort! zur 1. aufgabe: Okay habs verstanden. Blöd das ich das erst nicht gesehen hab. Trotzdem wüsste ich noch gerne ob mein Rechenweg auch richig währe um das zu zeigen? zur 2. aufgabe: das habe ich jetzt leider nicht verstanden. Wie kann ich die Wahrheit der ersten Ungleichung begründen? (das x^2+1 > 0 ist ist doch klar oder)? Also wie man sowa dann genau formuliert / aufs papier bringt? Bei so einfachen Sachen weis ich meist garnicht was ich genau schreiben soll? Und wiso ist der letzte Schritt falsch? Ist Wurzelziehen nicht erlaubt? (Sry ist bei mir schon sehr lange her) Dachte nur quadrieren währe eine nichtequivalente Umformung? Und mir ist jetzt auch noch nicht klar wiso dann als Ergebnis nur eine Ungleichung X²>0 steht? Vielleicht könntest du das nochmal etwas ausführlicher für die ganz doofen (wie mich) erklären Schonmal vielen dank!
04.08.2007, 23:10	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
du gehst "heikel" vor, auch wenn das ein typischer Ansatz ist. Die Behauptung 2a lautet: $\begin{eqnarray} 0 < \frac{1}{x^{2} +1} \end{eqnarray}$ Das versuchst du durch umformen auf eine bekannte wahre Aussage zu führen. Dazu müßte man wissen, was x ist. soll es z.B. für "fast" alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ gelten? Dort ist bekannt, dass gilt: $\begin{eqnarray} 0 < x^2 ~\forall ~ x \in \mathbb R\setminus \{0\} \end{eqnarray}$ Deswegen ist hier auch Schluss. Mit deinem weiteren Schritt (Wir müssen bei der Argumentaion im Beweis ja von unten nach oben lesen) verlierst Du einen Teil der x, für die die Behauptete Ungleichung ebenso gilt. Es ist zwar $\begin{eqnarray} x > 0 \Rightarrow x^2 > 0 \end{eqnarray}$ aber eben auch $\begin{eqnarray} x < 0 \Rightarrow x^2 > 0 \end{eqnarray}$ Auf andere Feinheiten hier in der Rechnung hat tmo ja aufmerksam gemacht, ich bin jetzt nur mal auf das 0 < x² aufgesprungen. Gruß

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