Integration der e Funktion

21.02.2005, 13:45

DanielE

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Integration der e Funktion

Hallo !
Bin gerade dabei e Funktionen zu integrieren ....
Laut Formelsammlung ist die Stammfunktion von e^x ja e^x

Was ist aber, wenn ich folgende Aufgaben berechnen will:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~e^{x^{2} }~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~e^{2x}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{2x} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{x^{2} } dx \end{eqnarray*}$

Wäre nett, wenn ihr mir dabei behilflich sein könntet !

21.02.2005, 13:51

Calvin

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RE: Integration der e Funktion
Für $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~e^{x^{2} }~dx \end{eqnarray*}$ gibt es keine Stammfunktion

Für $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~e^{2x}~dx \end{eqnarray*}$ gibt es eine. Leite mal $\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ ab und vergleiche es mit $\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ . Kommst du vielleicht selbst auf eine Idee für die Stammfunktion?

21.02.2005, 13:57

DanielE

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$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~e^{x^{2} }~dx \end{eqnarray*}$ Wie muss ich hier substituieren ? Wenn ich x^2 =z substituiere, komme ich ja wieder auf den gleichen Ausdruck !
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~e^{2x}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{2x} dx \end{eqnarray*}$ würde ich als $\begin{eqnarray*} 2 e^{2x} \end{eqnarray*}$ ableiten
$\begin{eqnarray*} e^{x^{2} } dx \end{eqnarray*}$ würde ich als $\begin{eqnarray*} 2xe^{x^{2} } \end{eqnarray*}$ ableiten.

Mit den Integralen oben habe ich aber so meine Probleme ...

21.02.2005, 14:16

Calvin

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Wie gesagt, für $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~e^{x^{2} }~dx \end{eqnarray*}$ gibt es keine Stammfunktion.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} e^{2x} dx \end{eqnarray*}$ würde ich als $\begin{eqnarray*} 2 e^{2x} \end{eqnarray*}$ ableiten

Richtig. Wenn du genau hinschaust, siehst du, dass $\begin{eqnarray*} f'(x)=2\cdot f(x) \end{eqnarray*}$ . Wie müßte f(x) aussehen, damit $\begin{eqnarray*} f'(x)=e^{2x} \end{eqnarray*}$ ? Das kann man sich durch einfache Überlegungen herleiten. Wenn dir das nicht gelingt, kannst t=2x substituieren und es dir dann anhand der Lösung herleiten.

Bei Bedarf kannst du auch mal $\begin{eqnarray*} \int~e^{ax+b}\,dx \end{eqnarray*}$ mit der Substitution t=ax+b ausrechnen. Das ist eine Verallgemeinerung von deinem obigen Beispiel.

21.02.2005, 14:46

DanielE

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Das find ich jetzt irgendwie komisch.

Fassen wir mal zusammen was wir bis jetzt haben.
Die Ableitung einer e-Funktion ist ja einfach.

$\begin{eqnarray*} e^{t} dt \end{eqnarray*}$ wird immer zu $\begin{eqnarray*} t'\cdot e^{t} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{x^{2} } dx \end{eqnarray*}$ wird also zu $\begin{eqnarray*} 2xe^{x^{2} } \end{eqnarray*}$

Das finde ich in Mathebüchern immer so sch.... die innere Ableitung steht nie dabei !

Mit den Integralen oben habe ich aber so meine Probleme ...

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~e^{x^{2} }~dx \end{eqnarray*}$ Hier komme ich nicht weiter. Da komme ich dann nach der Substitution auf ein neues nicht einfach zu lösendes Integral welches man (auf den ersten Blick) mit partieller Integration lösen kann ....Komm jetzt dabei auf Endergebnis:
$\begin{eqnarray*} 2x\cdot e^{z}-2\int_{b}^{a}~e^{z} ~dx \end{eqnarray*}$
wobei z=x^2
also:
$\begin{eqnarray*} 2x\cdot e^{x^{2} } -2\cdot e^{x^{2} } \end{eqnarray*}$

21.02.2005, 15:25

Mathespezialschüler

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@Calvin
Wir wollen korrekt bleiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es gibt schon eine Stammfunktion, z.B.

$\begin{eqnarray*} F(x):=\int_0^x~e^{x^2}~\mbox{d}x \end{eqnarray*}$

Nur kann man keine Stammfunktion durch analytische Funktionen angeben!
@DanielE
Das bedeutet soviel wie, dass du hier mit den normalen Integrationsmethoden nicht zum Ziel kommen wirst! Du wirst dazu einfach keine Stammfunktion finden, die dann in der Form $\begin{eqnarray*} 2xe^{x^2}-7x^2e^{x^2}+3e^{x^2} \end{eqnarray*}$ o.Ä. da steht. Das Beispiel ist absichtlich als ein relativ unwahrscheinliches von mir so gewählt.
Was immer du da rausbekommst, es wird keine Stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{x^2} \end{eqnarray*}$ sein und das kannst du bei jedem einzelnen Ergebnis ganz leicht überprüfen, indem du einfach mal ableitest!

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21.02.2005, 15:31

DanielE

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Habe jetzt u=x^2 substituiert.
Danach komme ich auf ein logisches Ergebnis. Denn nach der Substitution kann ich eine Konstante vor das Integral ziehen und kürzen, dann habe ich nur noch e^u du da stehen !

21.02.2005, 15:59

klarsoweit

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dann schreib deinen Lösungsweg mal hin. Bin wirklich gespannt.
Wenn's stimmt, wäre es ne echte Sensation. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.02.2005, 16:07

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von klarsoweit
Wenn's stimmt, wäre es ne echte Sensation. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sicher nur ironisch gemeint. Big Laugh

Big Laugh

@DanielE
Ich will ja kein Spielverderber sein, aber dein Weg ist auf jeden Fall falsch. Es wurde ja schon bewiesen, dass das nicht geht.
Aber wenn du uns deine 'Lösung' mal zeigst, dann sagen wir dir, wo dein Fehler ist.

21.02.2005, 16:21

Calvin

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Es gibt schon eine Stammfunktion, z.B.

$\begin{eqnarray*} F(x):=\int_0^x~e^{x^2}~\mbox{d}x \end{eqnarray*}$

Nur kann man keine Stammfunktion durch analytische Funktionen angeben!

OK, Argument angenommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.02.2005, 17:07

AD

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Je nach Geschmack kann man sich beim Gaußschen Fehlerintegral

$\begin{eqnarray*} \mathrm{erf}(x):=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^x~e^{-t^2}~dt \end{eqnarray*}$

oder aber der Verteilungsfunktion der Normalverteilung

$\begin{eqnarray*} \Phi(x):=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^x~e^{-\frac{t^2}{2}}~dt\stackrel{!}{=}\frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right] \end{eqnarray*}$

"bedienen". Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.02.2005, 17:37

DanielE

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Also.....

http://www.design-puetz.de/Bilder/alte/2.gif

Das stimmt auf jeden Fall !

Aber hier habe ich jetzt einen Hänger, wieso stimmt folgendes nicht ?

http://www.design-puetz.de/Bilder/alte/3.gif

21.02.2005, 17:42

iammrvip

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Zitat:

Original von DanielE
Also.....

http://www.design-puetz.de/Bilder/alte/2.gif

Das stimmt auf jeden Fall !

Integrationskonstanten nicht vergessen Augenzwinkern

Augenzwinkern

, dann stimmt's

zur Zweiten. Wir "vereinfachen" einfach ein bisschen:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{x}{x + 1}\mathrm dx = \int\frac{x + 1 - 1}{x + 1}\mathrm dx = \int\left(1 - \frac{1}{x + 1}\right)\mathrm dx \end{eqnarray*}$

21.02.2005, 17:43

n!

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beim letzten kannst du nicht partiell integrieren,wenn du nach u arbeitest (du) aber noch ein x da hast.

Substituiere wie du bereits machtest x+1=u und drücke das x im Zähler mit der Hilfe von x+1= u aus

damit klappt es wunderbar smile

smile

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x+1} \Rightarrow \frac{u-1}{u} \end{eqnarray*}$

dann auseinanderziehen,integrieren und Integrationskonstante nicht vergessen!! Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.02.2005, 17:45

DanielE

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Danke !

21.02.2005, 17:48

iammrvip

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Wen meinst du jetzt?? Du hast jetzt zwei Beispiele, such dir am besten das aus, was der bessergefällt.

Meines geht etwas schneller, sonst ist kein Unterschied.

21.02.2005, 18:17

Mathespezialschüler

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@iammrvip
Die beiden Wege sind im Grunde völlig identisch, deswegen würde ich da nicht von zwei Beispielen sprechen.

Außerdem kann er ja auch euch beiden danken oder soll das nicht gehen?
und vielleicht solltest du einmal daran denken, dass in diesem Thread noch viele andere gepostet haben, denen er vielleicht damit auch mal danken wollte.

21.02.2005, 18:24

n!

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@MSS

Alles ein Missverständnis.Daniel hat seinen Post in "Danke" editiert,nachdem iammrvip und ich Vorschläge machten.Davor stand da nämlich noch eine frage und iammrvip fragte,auf welches Beispiel sich die Frage bezog.Alles im grünen Bereich. smile

smile

Augenzwinkern

21.02.2005, 18:36

iammrvip

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Außerdem kann er ja auch euch beiden danken oder soll das nicht gehen?
und vielleicht solltest du einmal daran denken, dass in diesem Thread noch viele andere gepostet haben, denen er vielleicht damit auch mal danken wollte.

Nein, natürlich habe ich nichts dagegen wenn er dankt.

Jedoch stand vor dem Edit etwas ganz anderes in dem Beitrag (wie schon gesagt). Ich weißt nur nicht mehr genau was. Sinn gemäß "was meinst du damit".

21.02.2005, 18:54

Mathespezialschüler

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Achso, ok. Dann sorry smile

smile

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