kub. Splines

05.08.2007, 21:48

marcel!

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kub. Splines

Hallo,

ich sitze zur Zeit vor den Splines, aber die Erklärungen, die ich gefunden habe, sind für mich als Nicht-Mathematiker nicht so ganz durchschaubar gewesen...
Kann mir vllt jemand verständlich machen wie das anzugehen ist?

Am besten hänge ich meine Aufgabe noch mit an, damit ihr des ein bissel eingrenzen könnt

Also ich habe folgende vier Wertepaare:
(0,1); (1,0); (2,0); (3,1).

Die Punkte sollen durch eine kubische Spline-Funktion interpoliert werden. Keine Randbedingungen, außer dass die Spline-Fkt. im Intervall [1,2] konstant Null sein soll.
S(x) soll für das Intervall [0,1] berechnet werden.

Danke, Gruß

05.08.2007, 22:02

tigerbine

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RE: kub. Splines
Erst einmal allgemein. Ein Spline ist eine stückweise polynomiale Funktion. Diese Stücke heißen Restriktionen. Dass sollen hier Polynom vom Maximalgrad 3 sein, daher der Name "kubischer Spline".

D.h. zunächst einmal muss ein Spline noch nicht einmal stetig sein. Man hat insgesamt, bei n Teilstücken je Teilstück 4 Freiheitsgrade. Überlicher weise verwendet man dann man Splines, die den folgenden Bedingungen genügen (nächster Post).

Ich wäre Dir Dankbar, wenn Du bei den Treads

komplexe Zahlen in eulersche Form

Gauß-Quadratur

Mal etwas von Dir hören lassen würdest. Beide male hab ich auf dein PN reagiert, von Dir leider noch keine Reaktion

05.08.2007, 22:04

tigerbine

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Aus dem Workshop (in Arbeit)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} k = 4 \text { und } R_j \in \Pi_3 \end{eqnarray*}$

Stetigkeits- und Glattheitsbedingungen

Es sollen folgende Bedingungen erfüllt sein:

$\begin{eqnarray*} \text{(4a)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1. \quad S(t_j)=f_j \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \qquad j = 0,2,...,n \qquad \quad \text{Interpolationsbedingung 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2. \quad R_{j-1}(t_j) = R_j(t_j)=:u_j \qquad \qquad j = 1,2,...,n-1 \quad \text{Stetigkeit in den S-Knoten} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3. \quad R'_{j-1}(t_j) = R_j'(t_j)=:s_j \qquad \qquad j = 1,2,...,n-1 \quad \text{1x stetig differenzierbar in den S-Knoten} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4. \quad R''_{j-1}(t_j) = R_j''(t_j) \quad \qquad \qquad \qquad j = 1,2,...,n-1 \quad \text{2x stetig differenzierbar in den S-Knoten} \end{eqnarray*}$
____________________________________________________

$\begin{eqnarray*} - \qquad \qquad 4n-2 \quad \text{Bedingungen} \end{eqnarray*}$

Da insgesamt 4n Freiheitsgrade vorhanden sind, müssen noch 2 Bedingungen hinzugefügt werden, um eindeutigkeit zu erhalten.

Wahl der Eindeutigkeit

$\begin{eqnarray*} \text{(4b)} \end{eqnarray*}$

Natürlicher Spline

$\begin{eqnarray*} S''(t_0) = R_0''(t_0) = 0 \text{ und } S''(t_n) = R_{n-1}''(t_n) = 0 \end{eqnarray*}$

Die Bedingung wird deswegen als natürlich bezeichnet, weil die zweite Ableitung im Wesentlichen die Krümmung einer Funktion darstellt. Daer hat dieser Spline die geringste Krümmung.

Sie erweist sich allerdings als schlecht, da hier dann z.B. die Funktion $\begin{eqnarray*} f(t) = t^3 \end{eqnarray*}$ nicht durch einen kubischen Spline reproduziert wird.
Periodischer Spline

$\begin{eqnarray*} S'(t_0) = S'(t_n) \text{ und } S''(t_0) = S''(t_n) \end{eqnarray*}$
Vollständiger Spline

$\begin{eqnarray*} s_0:=S'(t_0)=f'(t_0) \text{ und } s_n:=S'(t_n)=f'(t_n) \end{eqnarray*}$

Sofern diese Werte bekannt sind, wird ein kubisches Polynom durch den Spline reproduziert.

Algorithmus zur Spline Berechnung

Ähnlich wie beim quadratischen Spline hat man bei der Berechnung wie folgt vorzugehen:

Aufstellen der Hermite-Newton-Form der Restriktionen $\begin{eqnarray*} R_{j-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_{j} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_{j-1}(t)=f[t_{j-1}]+f[t_{j-1},t_{j-1}]\cdot(t-t_{j-1})+f[t_{j-1},t_{j-1},t_{j}]\cdot(t-t_{j-1})^2+f[t_{j-1},t_{j-1},t_{j},t_{j}]\cdot(t-t_{j-1})^2(t-t_{j}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_{j}(t)=f[t_{j}]+f[t_{j},t_{j}]\cdot(t-t_{j})+f[t_{j},t_{j},t_{j+1}]\cdot(t-t_{j})^2+f[t_{j},t_{j},t_{j+1},t_{j+1}]\cdot(t-t_{j})^2(t-t_{j+1}) \end{eqnarray*}$

Dabei bestimmt man die Koeffizienten (dividierte Differenzen) mit dem Neville-Hermite-Schema und setzt für die ersten Ableitungen die Variable $\begin{eqnarray*} s_j \end{eqnarray*}$ . Damit sind die Bedingungen (1)-(3) umgesetzt.

$\begin{eqnarray*} R_{j-1}'(t)=f[t_{j-1},t_{j-1}]+2\cdot f[t_{j-1},t_{j-1},t_{j}]\cdot(t-t_{j-1})+2\cdot f[t_{j-1},t_{j-1},t_{j},t_{j}]\cdot (t-t_{j-1})(t-t_{j}) +f[t_{j-1},t_{j-1},t_{j},t_{j}]\cdot (t-t_{j-1})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_{j}'(t)=f[t_{j},t_{j}]+2\cdot f[t_{j},t_{j},t_{j+1}]\cdot(t-t_{j})+2\cdot f[t_{j},t_{j},t_{j+1},t_{j+1}]\cdot (t-t_{j})(t-t_{j+1}) +f[t_{j},t_{j},t_{j+1},t_{j+1}]\cdot (t-t_{j})^2 \end{eqnarray*}$
Gleichsetzen von $\begin{eqnarray*} R_{j-1}''(t_j) = R_{j}''(t_j) \end{eqnarray*}$ (4) führt dann wieder auf ein LGS zur Bestimmung der Werte $\begin{eqnarray*} s_1,...,s_{n-1} \end{eqnarray*}$ . Dabei ist die erzeugte Matrix wieder tridiagonal, diesmal aber strikt Zeilen-diagonaldominant. Daher ist auch diese Matrix regulär und das LGS eindeutig lösbar.
Mit den vorgegebenen Werten $\begin{eqnarray*} s_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ können die Restriktionen eindeutig bestimmt werden.

Dividierte Differenzen für kubische Splines

Damit erhält man bei der Anwendung der Newton-Hermite-Form des Interpolationspolynoms $\begin{eqnarray*} R_{j-1} \end{eqnarray*}$ folgendes Schema der dividierten Differenzen:

$\begin{eqnarray*} \begin{array} {|r||r|r|r|r|} \hline t_{j-1}& f_{j-1} & s_{j-1} & \frac{\frac{\vartriangle f_{j-1}}{\vartriangle t_{j-1}}-s_{j-1}}{\vartriangle t_{j-1}} & \frac{s_{j} +s_{j-1}-2\frac{\vartriangle f_{j-1}}{\vartriangle t_{j-1}}}{\vartriangle t_{j-1}^2} \\ \hline t_{j-1} & f_{j-1} & \frac{\vartriangle f_{j-1}}{\vartriangle t_{j-1}} & \frac{s_{j}-\frac{\vartriangle f_{j-1}}{\vartriangle t_{j-1}}}{\vartriangle t_{j-1}} &\\ \hline t_{j} & f_{j} & s_{j} & & \\ \hline t_{j} & f_{j} & & & \\ \hline \end{array} \end{eqnarray*}$

Damit erhält man für das IP:
$\begin{eqnarray*} R_{j-1}(t) = f_{j-1}+s_{j-1} \cdot (t-t_{j-1}) + \frac{\frac{\vartriangle f_{j-1}}{\vartriangle t_{j-1}} - s_{j-1}}{\vartriangle t_{j-1}}(t-t_{j-1})^2 + \frac{s_{j} + s_{j-1} -2\frac{\vartriangle f_{j-1}}{\vartriangle t_{j-1}}}{\vartriangle t_{j-1}^2}\cdot (t-t_{j-1})^2(t-t_{j}) \end{eqnarray*}$

Und für das Interpolationspolynoms $\begin{eqnarray*} R_{j} \end{eqnarray*}$ folgendes Schema der dividierten Differenzen:

$\begin{eqnarray*} \begin{array} {|r||r|r|r|r|} \hline t_j& f_j & s_j & \frac{\frac{\vartriangle f_j}{\vartriangle t_{j}}-s_j}{\vartriangle t_j} & \frac{s_{j+1} +s_j-2\frac{\vartriangle f_j}{\vartriangle t_j}}{\vartriangle t_j^2} \\ \hline t_j & f_j & \frac{\vartriangle f_j}{\vartriangle t_j} & \frac{s_{j+1}-\frac{\vartriangle f_j}{\vartriangle t_j}}{\vartriangle t_j} &\\ \hline t_{j+1} & f_{j+1} & s_{j+1} & & \\ \hline t_{j+1} & f_{j+1} & & & \\ \hline \end{array} \end{eqnarray*}$

Damit erhält man für das IP:
$\begin{eqnarray*} R_{j}(t) = f_{j}+s_{j} \cdot (t-t_{j}) + \frac{\frac{\vartriangle f_{j}}{\vartriangle t_{j}} - s_{j}}{\vartriangle t_{j}}(t-t_{j})^2 + \frac{s_{j+1} + s_{j} -2\frac{\vartriangle f_{j}}{\vartriangle t_{j}}}{\vartriangle t_{j}^2}\cdot (t-t_{j})^2(t-t_{j+1}) \end{eqnarray*}$

Ableitungsbedingung (4.)

$\begin{eqnarray*} R_{j-1}''(t_j) = R_{j}''(t_j) ~(*) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-6\frac{\vartriangle f_{j-1}}{\vartriangle t_{j-1}} +2s_{j-1} + 4s_j}{\vartriangle t_{j-1}}=\frac{6\frac{\vartriangle f_j}{\vartriangle t_j}-4s_j -2s_{j+1}}{\vartriangle t_j} \end{eqnarray*}$

Daraus erhält man:

$\begin{eqnarray*} \vartriangle t_j\cdot s_{j-1}+2(\vartriangle t_{j-1} + \vartriangle t_j)\cdot s_j + \vartriangle t_{j-1}\cdot s_{j+1} = 3(\frac{\vartriangle f_j}{\vartriangle t_j}\vartriangle t_{j-1} + \frac{\vartriangle f_{j-1}}{\vartriangle t_{j-1}} \vartriangle t_j) \end{eqnarray*}$

Formal vereinfacht schreibt man:

$\begin{eqnarray*} \beta_{j} \cdot s_{j-1} + \alpha_j \cdot s_j + \gamma_{j} \cdot s_{j+1} = y_j \qquad j = 1,2,...,n-1 \end{eqnarray*}$

Dies kann man als LGS der Form $\begin{eqnarray*} Ms = r \end{eqnarray*}$ schreiben. Für die Matrix M gilt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha_1 & \gamma_1 & & \\ \beta_2 & \alpha_2 &\gamma_2 && \\ &\beta_3 & \alpha_3 & \gamma_3 & \\ &&\ddots & \ddots \ddots &\gamma_{n-2} \\ & & & \beta_{n-1} &\alpha_{n-1}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun erklärt sich auch die Wahl der Zwischenvariable y. Denn für den Vektor r gilt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ \vdots \\ r_{n-2} \\ r_{n-1} \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} y_1-\beta_1\cdot s_0\\ y_2 \\ \vdots \\ y_{n-2} \\ y_{n-1} - \gamma_{n-1} \cdot s_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Vektor s sieht dann also wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} s_1 \\ s_2 \\ \vdots \\ s_{n-2} \\ s_{n-1} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Matrix M ist strikt-Zeilen-diagonaldominant, denn es gilt:

$\begin{eqnarray*} &&\vartriangle t_{j-1} = t_j-t_{j-1} > 0,\\&& \vartriangle t_{j} = t_{j+1}-t_{j} > 0,\\&&j=1,...,n-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha_1 - \gamma_1 &&= 2(\vartriangle t_{0} + \vartriangle t_1)- \vartriangle t_{0}\\&&=\vartriangle t_{0} + 2\vartriangle t_{1} > 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha_j-\beta_{j}-\gamma_{j}&& = 2(\vartriangle t_{j-1} + \vartriangle t_j) - \vartriangle t_j - \vartriangle t_{j-1} \\&&=\vartriangle t_j ~+\vartriangle t_{j-1} >0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha_{n-1} - \beta_{n-1} &&= 2(\vartriangle t_{n-2} + \vartriangle t_{n-1})-\vartriangle t_{n-1} \\&&=2\vartriangle t_{n-2} + \vartriangle t_{n-1} > 0 \end{eqnarray*}$

Aus dem Beweis im vorherigen Abschnitt folgt daher die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung des LGS $\begin{eqnarray*} Ms=r \end{eqnarray*}$ und somit existiert der gesuchte kubische "Teil-Spline" eindeutig.

Zur Lösung des Systems benötigen wir allerdings noch die Randbedingungen (siehe 4b), also die Werte für $\begin{eqnarray*} s_0,~s_n \end{eqnarray*}$

Natürlicher Spline

Aus den Forderungen $\begin{eqnarray*} S''(t_0) = R_0''(t_0) = 0 \text{ und } S''(t_n) = R_{n-1}''(t_n) = 0 \end{eqnarray*}$ erhält man mit (*):

$\begin{eqnarray*} s_0 = 1.5 \cdot \frac{\vartriangle f_0}{\vartriangle t_0} - 0.5 \cdot s_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_n = 1.5 \cdot \frac{\vartriangle f_{n-1}}{\vartriangle t_{n-1}} - 0.5 \cdot s_{n-1} \end{eqnarray*}$

Vollstandiger Spline

$\begin{eqnarray*} s_0=f'(t_0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_n=f'(t_n) \end{eqnarray*}$

Fehlerabschätzung

Für vollständige kubische Splines lässt sich die folgende Fehlerordnung herleiten:

$\begin{eqnarray*} |\varepsilon(t)|=|f(t)-S(t)|\leq \frac{5}{384}\cdot h^4 \cdot \max_{t\in [a,b]} |f^{(4)}(t)| \qquad f\in C^4([a,b]) \end{eqnarray*}$

05.08.2007, 22:18

marcel!

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Danke, tigerbine!

Da werde ich zwar erstmal mit zu tun haben, aber ich denke das wird mir weiterhelfen!

Marcel

P.S. Habe meinen Irrtum bei der Umformung in die eulersche Form schon eingesehen!

05.08.2007, 22:29

tigerbine

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Das mag sein, dennoch solltest Du es uns wissen lassen (was Du ja nun - auch in dem anderen Thread - getan hast). Zurück zur Spline Aufgabe. Dier Workshop lässt sich natürlich nicht 1 zu 1 übertragen, ich hoffe ihn aber so verständlich geschrieben zu haben, dass es auch ein nicht Mathematiker versteht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bei dir ist nun gegeben:

$\begin{eqnarray*} t_0 =0,~t_1=1,~t_2=2,~t_3=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_0 =1,~f_1=0,~f_2=0,~f_3=1 \end{eqnarray*}$

Gesucht sind (wir nehmen mal alle) die Restriktionen:

$\begin{eqnarray*} R_0,~R_1,~R_{2} \end{eqnarray*}$

Dabei kennt man hier sogar schon eine:

$\begin{eqnarray*} R_1=0 \end{eqnarray*}$

4 Unbekannte sind also 0. Bleiben noch 8 Unbekannte übrig.

Es gilt dann nun (Stetigkeit)

$\begin{eqnarray*} R_0(t_1)=0,~R_2(t_2)=0 \end{eqnarray*}$

Weiter soll gelten (1x stetig differenzierbar):

$\begin{eqnarray*} R_0'(t_1)=0,~R_2(t_2)'=0 \end{eqnarray*}$

Und weil es so schön ist (2x stetig differenzierbar):

$\begin{eqnarray*} R_0''(t_1)=0,~R_2''(t_2)=0 \end{eqnarray*}$

Nicht die Funktionswerte von Oben vergessen!

$\begin{eqnarray*} R_0(t_0)=1,~R_2(t_3)=1 \end{eqnarray*}$

Das sind dann die benötigten 8 Bedingungen.

05.08.2007, 23:09

marcel!

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Okay, es war zugegebenermaßen nicht ganz einfach sich durchzukämpfen, aber ich weiß nun wenigstens, dass ich auf einem ganz guten Weg war smile

smile

Danke sehr und sorry für die späte Störung Augenzwinkern

Augenzwinkern

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05.08.2007, 23:11

tigerbine

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Wenn ich "online" bin, ist es ja keine Störung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schön wäre es, wenn Du dann die Aufgabe hier im Forum fertig rechnen würdest.

05.08.2007, 23:25

marcel!

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Klar, das habe ich auch vor. Monologe sind ja immer nur begrenzt unterhaltsam Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielleicht komme ich heute aber nicht mehr dazu...
Aber sonst morgen.

06.08.2007, 13:27

marcel!

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Hallo!

Dann komme ich jetzt mal zurück zur Aufgabe.

Also hier ist es doch klar, dass wir nur das 1. und das 3. Teilintervall zu interpolieren haben, da ja $\begin{eqnarray*} S_2 (x) \end{eqnarray*}$ konstant Null sein soll.

Dann habe die vier Bedingungen aufgestellt fürs 1. Intervall:
$\begin{eqnarray*} S_0 (0) = 1; \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S_1 (1) = 0; \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S_0 '(1) = S_1 ' (1); \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S_0 '' (1) = S_1 '' (1) \end{eqnarray*}$

Dass $\begin{eqnarray*} S_0 '(1) = 0; S_0 '' (1) = 0 \end{eqnarray*}$ ist mir klar, habe das nur für den allgemeinen Fall mal aus Spaß so aufgeschrieben.

Wie löst man jetzt nach $\begin{eqnarray*} a_j, b_j, c_j, d_j \end{eqnarray*}$ auf? Ich bin dort irgendwie mit dem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ durcheinander gekommen, sind die Koeffizienten in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aufzulösen?

Gruß

06.08.2007, 18:13

tigerbine

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Nun sortier deine Bedingungen eben nach den Restriktionen. eigentlich ist das was Du geschrieben hast, ja keine" neue Erkenntnis", ich erwähnte es ja bereits hier Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da die Bedingungen symmetrisch sind, reicht es ja nun erstmal, wenn wir uns auf $\begin{eqnarray*} R_0 \end{eqnarray*}$ konzentrieren. Es gilt dann:

$\begin{eqnarray*} R_0(t) = a_3\cdot t^3 + a_2\cdot t^2 + a_1 \cdot t + a_0 \end{eqnarray*}$

Nun die Bedingungen:

$\begin{eqnarray*} R_0(0)=1 ,~R_0(1)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_0'(1)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_0''(1)=0 \end{eqnarray*}$

Somit ist das hier eine "ganz einfache" Steckbriefaufgbabe, wie man die aus der Schulmathematik kennt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Lösung über LGS, ggf. Boardsuche.

06.08.2007, 18:19

marcel!

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Ist $\begin{eqnarray*} R_0(t) =a_3t^3 +a_2t^2 + a_1t +a_0 \end{eqnarray*}$ die allgemeingültige Formel für jedes Intervall $\begin{eqnarray*} R_j(t_j) \end{eqnarray*}$ einer kubischen Splinefunktion?
Ja, dann wäre es wirklich Schulmathematik...

06.08.2007, 19:02

tigerbine

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So kann man ein Polynom dritten Grades nunmal aufschreiben. Darstellung bzgl. der Monombasis, nennt sie sich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und die Restriktionen eines Kubsichen Splines sind eben Polxnome vom max. Grad 3.

06.08.2007, 19:20

marcel!

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Dann hab ichs mir wohl wieder zu schwer gemacht...

Und für einen 2.,..,n. inneren Knotenpunkt bzw. für die anderen Restriktionen hat die allgemeine Formel für kubische Polynome auch Geltung? Oder ist das hier nur die Ausname, weil $\begin{eqnarray*} t_j = 0 \end{eqnarray*}$ ?

06.08.2007, 22:17

tigerbine

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Frage verstehe ich nicht. Alle Restriktionen lassen sich in der Art

$\begin{eqnarray*} R_j(t) = a_3\cdot t^3 + a_2\cdot t^2 + a_1 \cdot t + a_0 \end{eqnarray*}$

darstellen. Sind ja wie gesagt alles Polynome vom M-Grad 3. Der Auszug aus dem Workshop bezieht sich nur auf andere Angaben der bekannten Größen. Bekannt sind nur die Funktionswerte an den Knoten. Ansonsten fordert man eben noch eine gewisse Glattheit und das Verhalten an den Rändern. dann ist die Bestimmung der Restriktionen komplizierter.

In deinem Beispiel, bei nur 3 Restriktionen, eine sogar schon bekannt, kennt man ja schon die konkreten Werte der Ableitungen. Damit löst es sich schnell in Wohlgefallen auf.

07.08.2007, 00:29

marcel!

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Meine Aufgabe ist mir schon klar, meine Frage war nur wie es aussieht, wenn ein Teilintervall mal nicht gleich Null ist, sodass wir die ersten beiden Ableitung von S (R) auch nicht gleich null setzen können.

Dies ist dann ja die 1. bzw. 2. Ableitung des Nachbarsplines an dem jeweiligen Knotenpunkt.

Ich weiß aber nicht, wo sich da ein Unterschied befindet, weil die Form des kubischen Polynoms $\begin{eqnarray*} p(x) = a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 \end{eqnarray*}$ sich doch irgendwie unterscheiden muss für das linke und das rechte Teilintervall (?)

Andernfalls würde ich ja zwei identische Gleichungen haben, in denen in zwei gleiche Funktionswerte einsetze. Da wäre ja ein glattes $\begin{eqnarray*} 0 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Ja, ich weiß -verwirrend Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.08.2007, 11:01

tigerbine

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marcel!,

rechne doch bitte erstmal die Aufgabe, einfach oder nicht, fertig. Ich sprach von Symmetrie, nicht von Identität.

Wie gesagt, deine Aufgabe ist ein Spezialfall. Man kennt eine Restriktion, und es sind auch insgesamt nur 3. Deswegen ist es hier so leicht.

Für den typisch allgemeinen Fall, dass nur eine Datenmenge (Knoten und Funktionswert) gegeben ist, habe ich das Verfahren doch ausführlich beschrieben.

Ich kann aber jetzt nicht für jede mögliche Angabe Dir ein Lösungsschema basteln.

08.08.2007, 00:08

marcel!

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Dann ist schon gut, wir werden eh nur den einfachen Fall mit einem Nullintervall für die Klausur können müssen.
Hab das Polynom erstellt und war auch alles richtig.

08.08.2007, 01:19

tigerbine

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Es wäre dann üblich, die Lösung der Aufgabe auch einzustellen. Danke Wink

Wink

08.08.2007, 01:37

marcel!

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$\begin{eqnarray*} s(x) = -x^3 +3x^2 -3x +1 \end{eqnarray*}$

Büdde!! Augenzwinkern

Augenzwinkern

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