Existenz der Umkehrfunktion - Seite 2

07.08.2007, 14:09

tigerbine

Zitat:

Original von Leopold
Da der Grenzwert des Differenzenquotienten bei $\begin{eqnarray*} x = a \end{eqnarray*}$ positiv ist, muß auch

$\begin{eqnarray*} p(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h} > 0 \end{eqnarray*}$ für alle genügend kleinen $\begin{eqnarray*} h > 0 \end{eqnarray*}$

gelten.

Warum? Welche Eigenschaft benutzt Du?

07.08.2007, 14:19

tigerbine

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Zitat:

Bei einer differenzierbaren Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ die Zwischenwerteigenschaft.

Das ist Korrekt. Vergleiche Königsberger, Kapitel 9 Übungsaufgabe 13. Beweis findet sich im Anhang.

07.08.2007, 14:23

WebFritzi

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Zitat:

Original von Leopold
Wenn dieser Beweis stimmt [...]

Wieso zweifelst du an deinem Beweis? Er ist doch richtig. Augenzwinkern

Danke dir. Dann können wir uns jetzt ja Fragen wie "Was wäre, wenn..." usw. sparen. Tanzen

07.08.2007, 14:26

WebFritzi

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Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

Bei einer differenzierbaren Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ die Zwischenwerteigenschaft.

Das ist Korrekt. Vergleiche Königsberger, Kapitel 9 Übungsaufgabe 13. Beweis findet sich im Anhang.

Ah ja. Der Beweis dort wird mit genau der gleichen Technik wie der von Leopold geführt.

07.08.2007, 14:27

Leopold

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@ tigerbine

Daß Ableitungen "kein Loch haben können", folgt aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung: Betrachten wir ein in einem Intervall $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ stetiges $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und einen Punkt $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ im Innern von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ . Wir setzen ferner die Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ mit der möglichen Ausnahme bei $\begin{eqnarray*} x = c \end{eqnarray*}$ voraus. Darüber hinaus mögen reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} d^{-} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d^{+} \end{eqnarray*}$ existieren mit

$\begin{eqnarray*} f'(c-h) \to d^{-} \ \ \mbox{für} \ h \to 0, \ h > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(c+h) \to d^{+} \ \ \mbox{für} \ h \to 0, \ h > 0 \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} h > 0 \end{eqnarray*}$ genügend klein. Nach dem Mittelwertsatz existiert ein (von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ abhängiges) $\begin{eqnarray*} \vartheta \in (0,1) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} = f'(c + \vartheta h) \end{eqnarray*}$

Der Grenzübergang $\begin{eqnarray*} h \to 0 \end{eqnarray*}$ zeigt:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \to d^{+} \ \ \mbox{für} \ h \to 0, \ h > 0 \end{eqnarray*}$

Und ganz analog folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(c-h) - f(c)}{-h} \to d^{-} \ \ \mbox{für} \ h \to 0, \ h > 0 \end{eqnarray*}$

Also besitzt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf jeden Fall bei $\begin{eqnarray*} x = c \end{eqnarray*}$ die linksseitige Ableitung $\begin{eqnarray*} d^{-} \end{eqnarray*}$ und die rechtsseitige Ableitung $\begin{eqnarray*} d^{+} \end{eqnarray*}$ . Gilt nun $\begin{eqnarray*} d^{-} \neq d^{+} \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar ("Knickstelle"). Im andern Fall ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar ("glatte Stelle"): $\begin{eqnarray*} f'(c) = d^{-} = d^{+} \end{eqnarray*}$ .

07.08.2007, 14:29

tigerbine

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Danke Leopold. Lese es genauer nach dem Essen. Mahlzeit Wink

07.08.2007, 14:33

Leopold

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Dann scheint das Oszillieren der Ableitung die einzige Möglichkeit für eine unstetige Ableitung zu sein. Oder was könnte man sich sonst noch an wüstem Verhalten vorstellen? verwirrt

07.08.2007, 15:08

tigerbine

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Also "wüst" bedeutet doch "unstetig", oder? verwirrt

Da kenne ich wie gessagt nur 3 Fälle:

behebbare Lücke
Sprungstelle
Oszillation

Da (Du) nun gezeigt hast, dass eine Differenzierbare Funktion, die Zwischenwert-Eigenschaft besitzt, fallen (1) und (2) doch raus. Somit ist die Vermutung vom Anfang, dass die Ableitung einer nicht stetigen Differenzierbaren Funktion "oszilliert", gezeigt, oder?

07.08.2007, 15:25

WebFritzi

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Zitat:

Original von tigerbine
behebbare Lücke

"behebbar" habe ich persönlich noch nie gehört. Ich kenne nur den ausdruck "hebbar".

Zitat:

Original von tigerbine
Da (Du) nun gezeigt hast, dass eine Differenzierbare Funktion, die Zwischenwert-Eigenschaft besitzt

Ne, er hat gezeigt, dass die Ableitung einer diffbaren Funktion diese Eigenschaft besitzt. Die Funktion selber besitzt sie, da sie stetig ist.

07.08.2007, 15:31

tigerbine

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Zitat:

Ne, er hat gezeigt, dass die Ableitung einer diffbaren Funktion diese Eigenschaft besitzt. Die Funktion selber besitzt sie, da sie stetig ist.

Herje, meinte ich doch. Hammer

Zitat:

"behebbar" habe ich persönlich noch nie gehört. Ich kenne nur den ausdruck "hebbar".

Der Duden kennt keins der beiden Big Laugh

Ich wollte eben was "beheben" und was willst Du "heben" ?

OT: Mit dem Heben hab ich so meine Probleme. Das erste Mal im Stall fragt mich jemand:" "Hebst" mal mein Pferd?" . Wie Arnie seh' ich nun nicht aus.

07.08.2007, 15:50

WebFritzi

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Wieso das nun "hebbar" heißt, weiß ich auch nicht. Vielleicht wegen des Ausdrucks "das hebt sich weg". In der Funktionentheorie unterscheidet man z.B. zwischen wesentlichen Singularitäten, Polen und hebbaren Singularitäten.

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