Existenz der Umkehrfunktion

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Theodor Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz der Umkehrfunktion
Hallo, folgende Frage habe ich:

Wann ex. genau eine Umkehrabbildung?

Sei f: I -> IR diffbar und f´(x) ungleich 0 für alle x aus I.

Warum ex. hier eine Umkehrabbildung?
- Injektivtät hab ich. (indirekt über MWS)
- Surjektiv (sehe ich nicht), bei abgeschlossenen Intervall I hätte ich Surjektivität (wegen dem Zwischenwertsatz). Was ist bei halboffnen I etc...(kann man den ZWS übertragen?)
- Stetigkeit hab ich (dank diffbarkeit)




Theo
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

eine umkehrfunktion existiert genau dann, wenn die funktion bijektiv ist, das heisst also injektiv und surjektiv.
injektivität ist klar, folgt auch schon aus der stetigkeit und der nichtverschwindenden ableitung.
was die surjektivität angeht, das würde ich einschränken. nimm zb. mit ist nicht surjektiv, aber die definition für schon.
wenn du sagst für mit , dann existiert auf jeden fall eine
 
 
mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn heißt das, dass die Funktion im Intervall an keiner Stelle den Anstieg hat. Dies bedeutet, dass die Funktion entweder streng monoton fallend oder steigend ist. Das wäre die Injektivität mal ausgeführt.

Ich dachte zuerst über die strenge Monotonie ließe sich auch die Surjektivität zeigen, allerdings kann man - falls das Intervall nicht groß genug ist - immer Werte aus finden, die keinen entsprechenden Funktionswert besitzen. Daher ist die obige Einschränkung korrekt.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne weitere Eigenschaften zu benutzen, eigentlich doch noch nichts. Ich stelle mir gerade z.B. die Sägezahnfunktion vor. verwirrt

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/59/Kippschwingung.jpg


Auf was wolltest Du denn raus?

Gruß,
tigerbine Wink
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Sei mal I = [-1,1]. Kann jetzt nicht f' unstetig sein, so dass



??? Es war ja nicht die Rede von stetiger Diffbarkeit.
mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Es war ja nicht die Rede von stetiger Diffbarkeit.


Guter Punkt. Ich war automatisch davon ausgegangen, dass ist, was natürlich nicht sein muss.

Wenn Sie nicht stetig ableitbar ist, haben wir nur die Stetigkeit, was - siehe auch Fall der Sägezahnfunktion - keinesfalls auf die Umkehrbarkeit schließen lässt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann mich jetzt schwer täuschen, aber ich glaube, daß für eine in einer Umgebung von differenzierbare Funktion mit



automatisch folgt. Ich glaube, daß Ableitungsfunktionen mit Unstetigkeitsstellen in einer Umgebung der Unstetigkeitsstelle oszillieren müssen. Ich glaube - ich glaube ... verwirrt

Aber ich lasse mich gerne durch ein Gegenbeispiel eines Besseren belehren.
Theodor Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Hatte, das gestern von meiner Mitschrift aufgeschrieben, im Skript fand ich das so: I, I_1 Intervalle in IR.
. Rest wie sonst.

Surjektivität ist mir noch nicht in allen Fällen klar (hab unten 9 Fälle aufgeschrieben, wie das Intervall aussehen könnte)

Fall 1) klar:

ist so folgt mit der Stetigkeit, das f sein Max. und sein Min., sowie alle Werte dazwischen annimmt (Zwischenwertsatz), d.h. f ist surjektiv auf [inf f, sup f] = I

Vll ein Ansatz für Fall2)
Fall 2) Sei e>0 gewählt. Betrachte: + Zwischenwertsatz =>
e immer kleiner werden lassen....naja auf welches Intervall komm ich dann?













Theo
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Stetig ist die S-Funktion doch nicht verwirrt Ich wollte mit dem Beispiel eigentlich nur provozieren, dass Du deine Folgerungen mehr untermauerst. Und mit

Zitat:
Ich war automatisch davon ausgegangen, dass ist, was natürlich nicht sein muss.


Lag mein Bauchgefühl wohl richtig, wenn auch das Beispie nicht ganz sauber ist Augenzwinkern .


Die hier gegebene Funktion f ist auf dem Intervall I differenzierbar. Daher folgt daraus, dass sie auf I auch stetig ist.

Es wird aber keinerlei Aussage über die Stetigkeit der Ableitung getroffen. wir wissen nur, dass sie auf ganz I von 0 verschieden ist.

Als Beispiel für die nicht stetige Differenzierbarkeit fällt mir gerade nur der "Klassiker" ein, der auch auf Wikipedia steht.

http://de.wikipedia.org/wiki/Differentia...erbare_Funktion

Dort sind nun aber die Ableitung auch Null. Vielleicht helfen WebFritzi und/oder Leopold hier mal mit einem Beispiel aus? Mit Zunge
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich greife das von WebFritzi geschilderte Problem noch einmal auf und behaupte:

Ist in einer Umgebung von differenzierbar und gilt



dann ist .

Für den Beweis nehme ich ohne Beschränkung der Allgemeinheit noch an (Verschiebung des Graphen in -Richtung ändert nicht). Nach Voraussetzung existiert .

Nach Voraussetzung über für ist für streng monoton fallend und für streng monoton wachsend. Insbesondere ist für . Es folgt:





Mit folgt daraus einerseits und andererseits , also



Und das war zu zeigen.


Ich bitte, meine Argumentation zu überprüfen. Bei solchen Fragestellungen spielt einem die Anschauung leicht einen Streich.
mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Stetig ist die S[ägezahn]-Funktion doch nicht.


Warum nicht? Es gilt doch offenbar:

für alle

EDIT:

Ups, genau genommen ist sie ja nicht mal eine Funktion sondern nur eine Abbildung.
Theodor Auf diesen Beitrag antworten »

kann mir da jemand weiterhelfen wo ich schwierigkeiten habe? ^^

Theo
tensor07 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz der Umkehrfunktion
Hallo Theodor

Allgemein gilt: Für ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf eine offene Teilmenge von , die ein reguläres Differential ("Jacobi-Matrix") in einem Punkt des Definitionsbereichs hat, existiert eine Umgebung von , wo es eine Inverse gibt. Diese Eigenschaft heisst "lokale Invertierbarkeit", und die Aussage heisst Satz der inversen Funktion, und ist ziemlich technisch zu beweisen.

Im eindimensionalen Fall ist das Differential nichts anderes als die Ableitung, und seine Regularität entspricht "ungleich 0". Wenn der Definitionsbereich zusammenhängend ist und die Regularität überall gilt, dann kann die lokale Invertierbarkeit globalisiert werden: es existiert dann eine "globale" Inverse.

Gruss
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold: Dein Beweis sieht OK aus. Nur: Ich kann noch nicht ganz glauben, dass eine solche Funktion, wie Theodor sie hier hat, im allgemeinen injektiv sein soll. Ohne weitere Voraussetzungen könnte die Ableitung doch irgend ne "Drecksfunktion" sein, die "an kaum einer Stelle" stetig ist, aber halt nie Null wird. Die Frage ist also: Wie schlimm kann eine Ableitung einer diffbaren Funktion sein?
Theodor Auf diesen Beitrag antworten »

Naja brauche das ganze für eine Substituionsregel (Integralrechnung). Naja im Beweis finde ich nur, dass die Funktion injektiv ist, von Surjektivität steht im Beweis leider nichts.

Naja, da ich gerade ein Skript durcharbeite, wäre es mir recht wenn man das mit den Mitteln von Ana1 (vll. Anfang Ana2) zeigen könnte.


Theo
tensor07 Auf diesen Beitrag antworten »

Injektivität ist das schwierige, da es ums Verhalten der Funktion geht. Surjektivität ist einfach, die hängt nur davon ab, wie du den Zielbereich definierst. Wenn du eine injektive Funktion auf hast, dann ist



bijektiv.

Die Fälle und und und sind äquivalent, wie auch die Fälle und und und , da es stetig differenzierbare Abbildungen mit stetig differenzierbaren Inversen gibt, die diese Intervalle ineinander bijektiv überführen.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tensor07
Die Fälle und und und sind äquivalent, wie auch die Fälle und und und , da es stetig differenzierbare Abbildungen mit stetig differenzierbaren Inversen gibt, die diese Intervalle ineinander bijektiv überführen.


HIer ist nichts stetig diffbar.

EDIT: Ach so. Hab die Aussage zu schnell gelesen. Sorry.
tensor07 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach Fritzi Hammer Wink
Theodor Auf diesen Beitrag antworten »

@tensor07
Hi, wie zeige ich, dass es die Inserven gibt.
Muss ja irgendwie für die Surjektivität zeigen, dass f(I) = J, also einem Intervall (-> einer der 9 Fälle) ist.

Theo
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Man, Theodor. Lies doch mal die Beiträge, die für DICH geschrieben werden. Die Surjektivität ist sch...egal. Wenn f injektiv ist auf I mit J := f(I), dann ist f : I -> J bijektiv und hat natürlich eine Umkehrfunktion. Es ist hier nur die Injektivität zu zeigen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Die Frage ist also: Wie schlimm kann eine Ableitung einer diff'baren Funktion sein?


Hatten wir dafür nun schon ein Beispiel (Unabhängig von Theodor)? Außer dem aus wikipedia?


Gruß Wink
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, leider nicht. Hast du eins? Augenzwinkern
Theodor Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber warum muss J ein Intervall sein? Bei I = [a,b] wird das durch den Zwischenwertsatz erklärt, dann ist f(I) = [m,M] = J, also wirklich ein Intervall.

Habe mir das so erklärt (hoffe das ist so richtig):

Wenn J kein Intervall wäre, gäbe es einen isolierten Punkt c, d.h. es ex. ein x_0 mit f(x_0) = c. Dann würde aber f(x) nicht gegen f(x_0)= c laufen, wenn x->x_0. (Widerspruch zur Stetigkeit)

Theo
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Theodor
Ja, aber warum muss J ein Intervall sein?

Weil I eins ist und f stetig ist.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es einen isolierten Punkt gäbe, wäre deine Argumentation richtig. Alerdings frage ich mich, wie du auf die Existenz eines isolierten Punktes kommst. J könnte ja auch eine Vereinigung von paarweise disjunkten Intervallen sein. Dass J ein Intervall ist, liegt daran, dass zusammenhängende Mengen durch stetige Abbildungen wieder auf zusammenhängende Mengen abgebildet werden. Und die zusammenhängenden Mengen in IR sind nunmal gerade die Intervalle. Augenzwinkern Übrigens ist es eigentlich auch egal, ob J ein Intervall ist oder nicht. Wenn f : I -> J bijektiv ist, dann existiert eine Umkehrfunktion g : J -> I. Dabei spielt es keine Rolle, was J für eine Menge ist.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Nein, leider nicht. Hast du eins? Augenzwinkern


Bis jetzt noch nicht. Würde aber auch gerne ein weiteres kennen. In einem Ana Skritp, aber das ist eigentlich wie in wiki, wurde das Verhalten ("stetige" Differenzierbarkeit) von



für n= 1,2,3,... untersucht. Ok, das scheint wohl echt der Klassiker zu sein. Aber gibt's denn da nicht noch mehr? verwirrt
Theodor Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
stimmt WebFritzi, da sagst du was, an einer Vereinigung von paarweisen disjunkten Intervallen hab ich gar nicht gedacht.

ich bin so scharf darauf das J ein Intervall ist, weil der Satz (Substitutionsregel) dann eine weitere Funktion g: J -> IR braucht. (J soll ein Intervall sein, f: I -> J, und g: J -> IR).

"Das zusammenhängende Mengen durch stetige Abbildungen wieder auf zusammenhängende Mengen abgebildet werden" Ist das Stoff aus Ana1 oder Ana2? Beweist man das in der Regel für IR^n und sagt dann im Nachhinein das es auch so in IR ist. Oder wird sowas in einer Vorlesung bereits im IR gemacht und in Ana2 dann in IR^n nochmal?
Finde gerade nichts passendes im Ana1 Abschnitt.

Theo
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Am Anfang wird es meist eindimensional gemacht. In der Vorlesung Ana3 kam es mehrdimensional. Im Königsberger findest Du es in Ana2.
Theodor Auf diesen Beitrag antworten »

Frechheit, das ich den nicht in meinen Ana1 Skript finde. Muss ich eben warten bis ich an dieser Stelle bin...

Theo
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Leopold Verdacht scheint zu stimmen. Falls die Ableitung einer differentierbaren Funktion unstetig ist, kann es sich nur um Oszillationen handeln (Unstetigkeiten 3. Art ??). Für alle anderen Unstetigkeitsarten kann man nachrechnen, dass die Funktion in diesen Punkten nicht differentierbar sein kann.

Edit: Eigentlich folgt das schon "sofort" aus der Definition von Differenzierbarkeit.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Theodor
Frechheit, das ich den nicht in meinen Ana1 Skript finde. Muss ich eben warten bis ich an dieser Stelle bin...

Brauchst du nicht. Das gewünschte Resultat liefert dir das Epsilon-Delta-Kriterium.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe den Verdacht, daß folgende Analogie zum Zwischenwertsatz für stetige Funktionen besteht.


Vermutung 1

Sei im Intervall differenzierbar.
Haben und unterschiedliche Vorzeichen, so existiert ein mit .



Wohlgemerkt: Die Stetigkeit von wird hier nicht vorausgesetzt. Trotzdem glaube ich, daß der Satz richtig ist.

Durch Kontraposition, angewandt auf die Teilintervalle von , bekommt man die äquivalente


Vermutung 2

Sei im Intervall differenzierbar.
Gilt für alle , so gilt entweder für alle oder für alle .


Damit würde die Forderung bereits für die Umkehrbarkeit auf dem Bild von genügen.


Wer kann diese Vermutungen beweisen oder durch ein Gegenbeispiel widerlegen?


Nachtrag: @ Dual Space
Wie folgt das?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, ich hab das von Leopold noch nicht genau gelesen. Dann wäre das typische Beispiel aus den Vorlesungen,eigentlich "das" Beispiel?

Schade eigentlich, dass es dann auch nicht so erwähnt wird. Zumindest ist mir bislang kein Lemma, Übungsaufgabe oder ähnliches unter gekommen. Aber Analysis ist nur ein Stiefkind von mir.

Gruß Wink

Zur dritten Art. In meinen Skript wurde bei 0 begonnen Hammer

0: Behebbare (Loch)

1: Sprungstelle

2: Grenzwerte existieren nicht (wesentliche Unstetigkeit)


EDIT:

Zu Leopold's neuem Post. Er möchte ja die Zwischenwerteigenschaft benutzen. Mir sind noch die mahnenden Worte des Prof's in den Ohren "Verwechseln Sie Stetigkeit nicht damit, dass eine Funktion die Zwischenwerteigentschaft besitzt!" (in der schule wird ja gerne: Malen ohne Stift abzusetzen" als Beschreibung der Stetigkeit verwendet. Böse Falle oszillierende Funktionen")

Ok, aber wo findet man den Informationen über Funktionen, die die Zwischenwerteigenschaft haben? wie gesagt, mir fällt nur der Satz



ein.

Gruß Wink
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Nachtrag: @ Dual Space
Wie folgt das?

Kurz gesagt (vielleicht zu kurz?):
Angenommen die Ableitung einer Funktion f habe hebbare Unstetigkeiten oder Sprungstellen. Dann stimmen rechts- und linksseitige Grenzwerte der Differenzenquotienten an diesen Stellen nicht überein. Nach Definition der Differenzierbarkeit ist f an diesen Stellen nicht differenzierbar.


Edit: Herjee ... ok lassen wir hebbare Unstetigkeiten vorerst außen vor. verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
hebbare?
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut: Behebbare.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dann stimmen aber die Grenzwerte überein, oder? Herjee, des macht mich fertisch... Augenzwinkern
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Dann stimmen aber die Grenzwerte überein, oder? Herjee, des macht mich fertisch... Augenzwinkern


Stimmt.

Zitat:
Original von Dual Space
Edit: Herjee ... ok lassen wir hebbare Unstetigkeiten vorerst außen vor. verwirrt


Augenzwinkern


Edit: Hebbare Unstetigkeiten können aber auch nicht auftreten, weil (wieder nach Definition) der Wert der Ableitung an einer Stelle gleich dem des Differentialquotienten sein muss.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Edit: Hebbare Unstetigkeiten können aber auch nicht auftreten, weil (wieder nach Definition) der Wert der Ableitung an einer Stelle gleich dem des Differentialquotienten sein muss.


Jo. Du und dein hebbar. Lol.

f sollte ja auf I (welche Gestalt I auch immer hat?) differenzierbar sein.

Zitat:
Königsberger
Eine Funktion auf einem Intervall I heißt differenzierbar in , wenn der Grenzwert:



existiert. Diesen bezeichnet man dann mit



Aus dieser Existenz folgt, dass die Funktion in eine stetige Fortsetzung besitzt. Es gilt dann . (vgl. Königsberger, 2. Formulierung der Diff'barkeit).

Jetzt dreht sich bei mir gerade alles. Warum kann die "Ableitung" nun kein "Loch" haben verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, ich habe einen Beweis für die Vermutung 1 (und damit auch die Vermutung 2). Es mögen die dortigen Voraussetzungen bestehen. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit darf man und annehmen. Da der Grenzwert des Differenzenquotienten bei positiv ist, muß auch

für alle genügend kleinen

gelten. Auflösen nach zeigt: . Und da der zweite Summand positiv ist, folgt:

für alle genügend kleinen

Ganz analog folgert man aus :

für alle genügend kleinen

ist differenzierbar, also stetig, und muß daher auf dem kompakten Intervall ein Maximum annehmen. Wegen und kann dieses nicht am Rande des Intervalls liegen. Also wird für ein maximal. Dann muß aber gelten.


Wenn dieser Beweis stimmt, hieße das: Bei einer differenzierbaren Funktion hat die Zwischenwerteigenschaft.
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