Kurvenuntersuchung-gebrochen rationale Funktionen

21.02.2005, 17:05

Squiffy

Kurvenuntersuchung-gebrochen rationale Funktionen

Hilfe brauch dringend hilfe Hilfe

hoff jemand kann mir helfen
also ich hab die Funktion f(x)=(x^2 +4) / (4*(x+1))

Eigentlich kann man doch sagen, gerader Zählerpolynom und ungerader Nennerpolynom = Achsensymmetrie, oder? In der lösung der aufgabe steht allerdings "Symmetrie nicht erkennbar...Nennerpolynom weder gerade noch ungerade..." aber x ist doch x^1 und das wäre ungerade... verwirrt

LG, Squiffy

21.02.2005, 17:08

iammrvip

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Guck dir mal die Funktion

$\begin{eqnarray*} y = 4x + 4 \end{eqnarray*}$

in einen Koordinatensystem an. Hat sie eine Symmetrie verwirrt

21.02.2005, 17:24

Squiffy

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lol nein hat sie nicht....
aber meine frage war, warum sie keine hat...hab gelernt, dass man bei ner gebrochen rationalen funktion sagen kann:
wenn die höchste potenz von x im zähler gerade und die vom nenner ungerade ist gäbe es achsensymmetrie
aber warum ist die potenz ^1 (x^1) nicht ungerade?
sry is bissl schwer zu erklärn was ich mein Hammer

wahh sry meinte net ganz rationale sondern gebrochen rat.funkt. oops

21.02.2005, 17:39

iammrvip

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Wie du an diesem Beispiel siehst, gilt die "Regel" erst für Exponenten $\begin{eqnarray*} \geq 2 \end{eqnarray*}$

Die linearen Funktionen nehmen ein Sonderstellung unter den Polynomen von Funktion ein. Man muss sie etwas abgrenzen.

Die Erklärung ist auch ganz logisch. Eine lineare Funktion kann nur fallend bzw. steigend auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein (und hat somit auch keine Extrema/Wendepunkte) und kann deshalb auch keine Achsensymmetrie besitzen.

21.02.2005, 17:54

Squiffy

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hmm hab jetzt auch nochn prob beim extrema berechnen..also dazu brauch ich ja zuerst mal die 1. ableitung aber hab da wohl nen fehler drin :

f(x) = (x^2+4) durch (4*(x+1))

f'(x) =(2x(4x+4) - (x^2+4)*4) durch ((4x+4)^2)

= (2x-4x^2+16) durch (4x+4)

Vielen dank war hier schon fast am verzweifeln smile

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion (MSS)

21.02.2005, 17:58

Mathespezialschüler

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@iammrvip
*g*, willst du mich verarsch**?? Augenzwinkern

(ironisch! Nur um Missverständnisse zu vermeiden ... Augenzwinkern

)
Für mich ist jede lineare Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=ax+b \end{eqnarray*}$ punktsymmetrisch zu jedem Punkt auf ihr selbst und achsensymmetrisch zu allen Geraden (Funktionen) der Form $\begin{eqnarray*} g_c(x)=-\frac{1}{a}x+c \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

@Squiffy

Zitat:

Original von Squiffy
wenn die höchste potenz von x im zähler gerade und die vom nenner ungerade ist gäbe es achsensymmetrie

Nein, allgemein gilt für ein Polynom (also noch nicht gebrochenrational, sondern ganzrational), dass es punktsymmetrisch zum Koordinatenurpsrung ist, wenn die Exponenten von allen Potenzen von x ungerade sind.
Und entsprechend gilt für ein Polynom , dass es achsensymmetrisch zur y-Achse ist, wenn die Exponenten von allen Potenzen von x gerade sind.

Und für eine gebrochenrationale Funktion gilt das gleiche:
Eine gebrochenrationale Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenurpsrung, wenn die Exponenten von allen Potenzen von x ungerade sind, egal ob Zähler oder Nenner, sie müssen in beiden ungerade sein.

Und entsprechend: Eine gebrochenrationale Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn die Exponenten von allen Potenzen von x gerade sind, wieder egal ob Zähler oder Nenner, sie müssen in beiden gerade sein.

Wenn ein- oder mehrmals ein ungerader Exponent dabei ist und auch ein- oder mehrmals ein gerader Exponent dabei ist, dann kann man erstmal nichts zur Symmetrie aussagen.

Allgemein gilt noch:

Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn $\begin{eqnarray*} f(-x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ gilt und sie ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn $\begin{eqnarray*} f(-x)=f(x) \end{eqnarray*}$ gilt.

Damit kannst du immer ganz sicher gehen. Wenn keine der beiden Gleichungen stimmt, dann kannst du erstmal nichts über Symmetrie aussagen.

21.02.2005, 18:06

Squiffy

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Zitat:

[
Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn $\begin{eqnarray*} f(-x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ gilt und sie ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn $\begin{eqnarray*} f(-x)=f(x) \end{eqnarray*}$ gilt.

.

hab des auch schon gelesen aber was bedeutet f(-x)=-f(x)
also wie würde des jetzt bei meinem bsp lauten?

21.02.2005, 18:07

iammrvip

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@MSS
Sorry, ich meinte natürlich Achsensymmetrie. Hab's berichtigt Freude

.

@Suffy
Deine Funktion ist punktsymmetrisch zu einem bestimmen Punkt, nicht zum Urspung Augenzwinkern

21.02.2005, 18:42

Mathespezialschüler

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Ich bezog mich eigentlich allgemein auf die Symmetrie, wusste gar nicht, dass da unten Punktsymmetrie steht. War mir auch egal, denn, wie schon gesagt, besitzt jede lineare Funktion auch Symmetrieachsen (und zwar überabzählbar viele Big Laugh

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