Integrieren von algebraischer Funktion

21.02.2005, 18:03	Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrieren von algebraischer Funktion Die Funktion lautet $\begin{eqnarray} y=x\cdot \sqrt{\frac{4+x}{4-x}} \end{eqnarray}$ Nun soll die Fläche bestimmt werden, die die Funktion mit der x-Achse einschließt. Die Nullstellen sind $\begin{eqnarray} -4,0 \end{eqnarray}$ . Bei $\begin{eqnarray} 4 \end{eqnarray}$ ist ein einseitiger Pol, da die Funktion nur für $\begin{eqnarray} -4\leq x<4 \end{eqnarray}$ definiert ist. Ich weiß also wie sie läuft, aber suche die Stmmfunktion. Folgende Ansätze schlugen fehl: Zunächst wollte ich partitiell Integrieren mit $\begin{eqnarray} x=u \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{4+x}{4-x}}=v' \end{eqnarray}$ . Aber dann konnte ich Wurzelausdruck nicht integrieren. Dann habe ich in der Wurzel mit $\begin{eqnarray} (x+4) \end{eqnarray}$ erweitert, da ich dann 2 binomische Formeln habe und es entsteht: $\begin{eqnarray} y=x(x+4)(4^{2}-x^{2})^{-{\frac{1}{2}}} \end{eqnarray}$ Da versuchte ich erneut partitiell zu integrieren mit $\begin{eqnarray} (x+4)=u \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x(4^{2}-x^{2})^{-\frac{1}{2}}=v' \end{eqnarray}$ . Da hab ich bei $\begin{eqnarray} v' \end{eqnarray}$ nun eine erneute partitielle Integration versucht, konnte allerdings $\begin{eqnarray} (4^{2}-x^{2})^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ nicht integrieren. Dann hab ich um $\begin{eqnarray} v' \end{eqnarray}$ zu integrieren $\begin{eqnarray} x^{2}=t \end{eqnarray}$ substituiert, da vor der Wurzel ja noch ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ rumgeisterte und das bei $\begin{eqnarray} \frac{dt}{dx} \end{eqnarray}$ wegfiel, konnte dann auch integrieren, bin dann aber einen schritt später(beim ausführen der partitiellen Integration des entstandenen Integrals von $\begin{eqnarray} (4^{2}-\sqrt{x})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ gescheitert...) Wie geht das?
21.02.2005, 18:18	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrieren von algebraischer Funktion Zunäcjhst mal kannst du mit $\begin{eqnarray} \sqrt{4+x} \end{eqnarray}$ erweitern, dann gilt in deinem Integrationsbereich $\begin{eqnarray} -4<x<4 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} y=\frac{x(4+x)}{\sqrt{16-x^2}} \end{eqnarray}$ Und jetzt substituiere $\begin{eqnarray} z=\arcsin\frac{x}{4} \end{eqnarray}$ .
21.02.2005, 19:07	Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} y=\frac{x(4+x)}{\sqrt{16-x^{2}}} \end{eqnarray}$ Substitution: $\begin{eqnarray} z=arcsin\frac{x}{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z'=\frac{1}{\sqrt{16-x^{2}}}=\frac{dz}{dx} \Rightarrow dx=dz \cdot \sqrt{16-x^{2}} \end{eqnarray}$ Ersetze ich nun das $\begin{eqnarray} x(4+x) \end{eqnarray}$ indem ich dafür $\begin{eqnarray} x=4\cdot sin z \end{eqnarray}$ setze? Also entsteht $\begin{eqnarray} 4sin(z)(4+4sin(z)) \end{eqnarray}$ oder was geschieht mit dem Zähler? Danke...
21.02.2005, 19:10	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Genauso.

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