Inverse Abbildung

06.08.2007, 23:03

Archie

Inverse Abbildung

Hallo,
Gegeben sei eine Abbildung f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{k}\supset W \rightarrow \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1\leq k\leq n \end{eqnarray*}$
Dabei ist W $\begin{eqnarray*} = \{ u\in \mathbb R ^{k}:-1<u_j<1;j=1..k\} \end{eqnarray*}$ der offene Einheitswürfel im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{k} \end{eqnarray*}$
Dies stellt eine lokale Parametrisierung einer Umgebung U eines Punktes xo $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M einer k-dim. differenzierbaren Mannigfaltigkeit M im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ dar.

Meine Frage bezieht sich auf die Existenz der inversen Abbildung:
In meinem Skript wird nur die Regularität der JACOBI-Matrix für alle Punkte aus W gefordert, also voller Spaltenrang. Welche Folgerungen kann ich aus der Regularität ziehen?
Reicht das bereits aus, damit f injektiv ist? Damit könnte ich ja dann entsprechend den Wertebereich einschränken um zusätzlich Surjektivität, und damit Bijektivität zu erzeugen. Diese ist ja bekanntlich äquivalent zur Existenz der inversen Abbildung.
Oder muss ich die Injektivität als zusätzliche Forderung an die Abbildung F stellen? (Wenn ja, warum wird dann die regularität gefordert?)

Vielen Dank für jeden Versuch zur Hilfe.

07.08.2007, 04:50

tensor07

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RE: Inverse Abbildung
Hallo Archie

Zitat:

Original von ArchieDies stellt eine lokale Parametrisierung einer Umgebung U eines Punktes xo $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M einer k-dim. differenzierbaren Mannigfaltigkeit M im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ dar.

Dies gilt nur dann, wenn deine Jacobi-Matrix vollen Rang hat, und dann ist M nicht irgendeine Mannigfaltigkeit, sondern das Bild von f.

Durch einen ziemlich technischen geometrischen Beweis ("s. Buch") zeigt man, dass die "Regularität" der Jacobi-Matrix von f die lokale Injektivität von f impliziert, also muss die Injektivität nicht separat gefordert werden, sonst wäre alles trivial (und eher nutzlos). Man betrachtet dazu eine Approximation des Bilds durch den Tangentialraum in der nähe jedes Punktes. Falls n = 1 folgt daraus die globale Injektivität von f, da in diesem Fall die Jacobi-Matrix einfach eine entweder überall positive oder überall negative Zahl ist + Zwischenwertsatz. Sonst nicht. Betrachte z.B. eine Parametrisierung eines Kreises: einige Punkte werden sich überlappen, die Jacobi-Matrix darf jedoch immer vollen Rang haben. Ob diese Globalisierung möglich ist, liegt an die topologischen Eigenschaften von M.

Das Zusammenhang von Injektivität und Bijektivität hast du richtig erklärt.

07.08.2007, 10:07

pihalbe

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RE: Inverse Abbildung

Zitat:

Original von tensor07
Falls n = 1 folgt daraus die globale Injektivität von f (...) Sonst nicht.

In meinem Analysis-Skript steht direkt nach der Definition der Mannigfaltigkeit:

Ein Paar $\begin{eqnarray*} (U,f^{-1}) \end{eqnarray*}$ heißt Karte.

Das verstehe ich nicht. Man fordert immer nur die regularität der Parametrisierungen, aber wenn die nicht zur globalen Injektivität führen, welchen Sinn macht dann der Ausdruck $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

07.08.2007, 15:31

tensor07

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RE: Inverse Abbildung
Da f lokal injektiv ist, kann man zu jedem Punkt x eine Umgebung U von f(x) finden, wofür die Einschränkung von f injektiv ist (d.h. es existiert eine Umgebung U' von x, sodass f(U')=U und f|U' ist injektiv). Aber U kann nicht beliebig (gross) gegeben sein. Wenn U=M gewählt werden kann, dann hast du eine globale Karte, und f ist eine injektive Parametrisierung W->M.

In der Differentialgeometrie fordert man für eine allgemeine Mannigfaltigkeit M, dass die Karten injektiv sein, dass die Transitionsabbildungen von einer Karte zur anderen differenzierbar sein, und dass die Karten M überdecken (+ einige topologische Bedingungen). Daraus folgen alle differenzierbaren Eigenschaften von M. Aber wenn M als Untermannigfaltigkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ gegeben ist, dann muss man mit den bekannten Eigenschaften von differenzierbaren Abbildungen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ arbeiten. Dies vereinfacht die Sache dadurch, dass du nichts an die Transitionsabbildungen zeigen musst.

08.08.2007, 17:30

pihalbe

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RE: Inverse Abbildung
Definition:

$\begin{eqnarray*} M\subset\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ heißt k-dimensionale Mannigfaltigkeit der Klasse $\begin{eqnarray*} C^r \end{eqnarray*}$ wenn zu jedem Punkt $\begin{eqnarray*} x_0\in M \end{eqnarray*}$ eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:W\longrightarrow U \end{eqnarray*}$ existiert, wobei $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ein Einheitsgebiet des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ regulär ist.

Zwei Fragen dazu, die vielleicht auf dem selben Verständnisproblem aufbauen und damit äquivalent sein könnten:

1.

Zitat:

Original von tensor07
In der Differentialgeometrie fordert man für eine allgemeine Mannigfaltigkeit M, dass die Karten injektiv sein, ...

Verstehe ich es falsch, oder ist an dieser Stelle doch globale Injektivität gemeint? (Ich meine mit global nicht auf gesamt M, sondern auf der Umgebung U von M, die durch f parametrisiert wird)

Genau aus der (obigen) Definition einer k-dimensionalen Mannigfaltigkeit M im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ her habe ich mir nämlich die Frage gestellt, ob die lokale Parametrisierung global invertierbar sein muss. Leider ist unser Prof nicht darauf eingegangen.

2.
Wenn es stimmt, dass f in einer Umgebung eines regulären Punktes lokal invertierbar ist, und f auf gesamt W regulär ist, warum ist f dann nicht auf gesamt W invertierbar?
Man müsste doch aus den lokalen Umkehrfunktionen eine globale gewinnen können, denn da f in jedem Punkt lokal invertierbar ist, ist das Urbild ja in jedem Punkt eindeutig, falls nicht müsste f in irgendeinem Punkt nicht regulär sein.
(Ich stelle mir dabei die Sinus-Funktion vor. Sie ist im Punkt $\begin{eqnarray*} \pi/2 \end{eqnarray*}$ nicht regulär.)

08.08.2007, 23:32

tensor07

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RE: Inverse Abbildung
1. Richtig. In deinem Fall handelt es sich aber um (in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ) eingebettete Mannigfaltigkeiten, nicht allgemeine. Du kannst also mein Abschnitt über Differentialgeometrie zur Zeit vergessen. Eigentlich können alle Mannigfaltigkeiten in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ eingebettet werden, dies folgt aber aus einer allgemeine Definition, die in Analysis nicht besprochen wird. Man definiert zuerst offene Teilmengen von M, die bijektiv parametrisiert werden können, dann klebt man sie diefferenzierbar zusammen und erhält etwas abstraktes.

2. Warum soll sie? Aber zunächst: Deine Definition hat Probleme (ausser das fehlende $\begin{eqnarray*} f\in C^r \end{eqnarray*}$ ). Die Idee ist natürlich "M sieht lokal aus wie ein k-dimensionales Einheitsgebiet". Da die Definition in die Richtung $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \longrightarrow M \end{eqnarray*}$ geht, muss man M als Bild einer oder mehreren Parametrisierungen darstellen. Jeder Punkt von M muss ein regulärer Wert einer Funktion "f" sein. Daher fordert man, dass $\begin{eqnarray*} f(W) = U\cap M \end{eqnarray*}$ . Wir möchten nämlich, dass das Bild eine k-dimensionale Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ in M ist. (Wenn du daran denkst, U hätte sonst keinen Grund zu existieren, da wir jedenfalls $\begin{eqnarray*} U=\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ wählen könnten.) f muss nichteinmal überall auf W regulär sein, nur in einem Urbildspunkt von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ . Ausserdem ist die Form von W unwichtig: W muss nur offen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^k \end{eqnarray*}$ sein. "Einheitsgebiet" ist nur der Einfachheit halber gewählt.

Lokale Injektivität besagt jetzt, dass man eine (im allg. kleinere) offene Teilmenge von W wählen kann (sagen wir W'), die ein Urbildspunkt von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ enthält, sodass f|W' injektiv auf eine Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ abbildet. Daher gibt es nur einen Urbildspunkt in W', könnte es aber mehrere in W geben! Z.B. die Funktion

$\begin{eqnarray*} f:t\mapsto (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t) \end{eqnarray*}$

ist eine (überall reguläre) Parametrisierung des Einheitskreises in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , aber nicht injektiv für $\begin{eqnarray*} W=(-1,1) \end{eqnarray*}$ . Wenn wir uns aber auf $\begin{eqnarray*} W'=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$ einschränken, dann ja. Leider ist dann der Punkt $\begin{eqnarray*} (-1,0) \end{eqnarray*}$ weggelassen. Wir können auf dieser Art keine global injektive Parametrisierung des Einheitskreises konstruieren.

10.08.2007, 16:47

pihalbe

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RE: Inverse Abbildung

Zitat:

Original von tensor07
Man definiert zuerst offene Teilmengen von M, die bijektiv parametrisiert werden können (...)

Also wenn ich das richtig sehe, dann:

In der Definition der eingebetteten Mfk. wird üblicherweise die Bijektivität der Parametrisierung (Karte) gefordert. Diese Forderung fehlt in meinen Mitschriften und deswegen versuche ich sie aus der Regularität zu erhalten, was falsch und unnötig ist.

Ich hoffe, das stimmt so, danke für deine Geduld bis jetzt.

11.08.2007, 04:41

tensor07

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RE: Inverse Abbildung
Du kannst auf beiden Arten tun, solange dir der Zusammenhang zwischen Regularität und Bijektivität klar ist.

Freude

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