Kurvendiskussion bei Exponentialfunktion

21.02.2005, 19:51

marcusf

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Kurvendiskussion bei Exponentialfunktion

Hi,
ich muss eine bzw mehrere Kurvendiskussion bei Exponentialfunktionen durchführen.
Wie eine Kurvendiskussion geht weiß ich, aber bei Exponentialfunktionen hab ich so meine schwierigkeiten.

die funktion lautet: f(x)=(x² + x - 2) * e^x

so 1. problem wär schon das berechnen der nullstellen.
ich weiß, dass f(x) = 0 sein muss aber wie löse ich die gleichung hier um x zu bekommen?

21.02.2005, 19:52

iammrvip

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Es gilt immer $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{x} > 0 \end{eqnarray*}$ .

Du kannst dir das auch leicht verdeutlichen. Egal, ob du postive oder negative Zahlen einsetzt, es ist immer größer 0. Durch negative Zahlen wandert $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{...} \end{eqnarray*}$ ja nur in den Nenner.

Also kannst du das bei der Berechnung "wegstreichen".

21.02.2005, 19:54

marcusf

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OK was heißt das denn jezz genau für de berechnung der nullstellen?

21.02.2005, 19:56

iammrvip

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Du setzt die Funktion = 0 und "streichst $\begin{eqnarray*} \mathrm e^x \end{eqnarray*}$ weg"

$\begin{eqnarray*} \left(x^2 + x - 2\right)\mathrm e^x &= 0 | \mathrm e^x > 0 \\ x^2 + x - 2 &= 0 \end{eqnarray*}$

21.02.2005, 20:02

marcusf

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GUT dann krieg ich raus:
x1= 1
x2=-2

Wenn das stimmt müsste ich nun die extrema untersuchen.
kriterium kenne ich: f´(x) = 0 (notwendiges kriterium) und dann gibts ja noch das hinreichende kriterium...

dazu sollten wir erstmal die ableitungen vergleichen.

21.02.2005, 20:05

iammrvip

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Die Nullstellen stimmen. Schreib die Ableitungen rein Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

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21.02.2005, 20:07

marcusf

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f´(x) = 2x + 1 * e^x + e^x * (x^2 + x - 2)
Stimmt die erstmal?

21.02.2005, 20:13

iammrvip

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Zitat:

Original von marcusf
f´(x) = 2x + 1 * e^x + e^x * (x^2 + x - 2)
Stimmt die erstmal?

Du darfst Klammern nicht vergessen Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f'(x) = (2x + 1)\mathrm e^x + \left(x^2 + x - 2\right)\mathrm e^x \end{eqnarray*}$

21.02.2005, 20:17

marcusf

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ah ok thx und
f´´(x) = [2 * e^x + (2x+1) * e^x ] + [ e^x * (x² + x - 2) + e^2 * (2x + 1)] ?????

21.02.2005, 20:21

iammrvip

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Oh, nein

geschockt

Erstmal vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = (2x + 1)\mathrm e^x + \left(x^2 + x - 2\right)\mathrm e^x \end{eqnarray*}$

Hier kannst du doch $\begin{eqnarray*} \mathrm e^x \end{eqnarray*}$ ausklammern

$\begin{eqnarray*} f'(x) &= \mathrm e^x\left((2x + 1) + \left(x^2 + x - 2\right)\right) \\ &= \mathrm e^x\left(x^2 + 3x - 1\right) \end{eqnarray*}$

21.02.2005, 20:27

marcusf

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ah okay, danke für den tip das erleichtert einiges!!!!!!!!

dann f´´(x) = e^x * (x²+3x-1) + e^x * (2x-3)

21.02.2005, 20:28

iammrvip

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Ja, kannst nochmal ausklammern, wegen Wendepunkten Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

/edit: Noch ein V.-Fehler:

$\begin{eqnarray*} 2x + 3 \end{eqnarray*}$

falsch abgeschrieben.

21.02.2005, 20:31

marcusf

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okay also:

e^x [(x²+3x-1)+(2x-3)] = e^x (x²+5x-4)

?

21.02.2005, 20:36

iammrvip

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Zitat:

Original von marcusf
okay also:

e^x [(x²+3x-1)+(2x-3)] = e^x (x²+5x-4)

?

Du hast noch ein Vorzeichen falsch abgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \mathrm e^x\left(x^2 + 3x - 1 + 2x + 3\right) \end{eqnarray*}$

das war doch oben

$\begin{eqnarray*} x^2 + 3x \end{eqnarray*}$

21.02.2005, 20:40

Mathespezialschüler

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Ähhm, wenn ich mich einmischen dürfte Augenzwinkern

Augenzwinkern

In der zweiten Ableitung ist ein Vorzeichenfehler drin:

f''(x) = e^x * (x²+3x-1) + e^x * (2x+3)

smile

smile

21.02.2005, 20:41

marcusf

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Menno ich find das leider nich, wo is denn jezz nochn fehler?

21.02.2005, 20:42

iammrvip

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Japp, genau das mein ich Freude

Freude

.

21.02.2005, 20:44

marcusf

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Also stimmt das f´(x) jetzt oder ist da noch was falsch?

21.02.2005, 20:46

iammrvip

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f' stimmt schon. Aber du hast f' falsch abgeschrieben beim Differenzieren:

$\begin{eqnarray*} f'(x) &= \mathrm e^x\left(x^2 + 3x - 1\right) \\ f''(x) &= \mathrm e^x\left(x^2 + 3x - 1\right) + \mathrm e^x\left(2x + 3\right) \end{eqnarray*}$

Du hattest dort - 3 geschrieben.

21.02.2005, 20:48

marcusf

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AH OK JEZZ SEHE ICH ES Also is f´´(x) = e^x * ( x² + 5x +2)

21.02.2005, 20:49

iammrvip

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Genau

Freude

Jetzt noch die Extrema und Wendepunkte.

21.02.2005, 20:51

marcusf

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OKAY also extrema:
f´(x) = 0

e^x*(3x-1+x²) = 0 e^x>0

3x-1+x² =0

x1/2 = - 3/2 +/- Wurzel aus 3,25

Is das richtig?

21.02.2005, 20:54

iammrvip

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Ja, das kannst du sogar noch vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} x_{1/2} = -\frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{13}}{2} \end{eqnarray*}$

21.02.2005, 20:57

marcusf

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OKAY dann muss ich als nächstes
f´´(-3/2 + Wurzel aus 3,25)
f´´ (-3/2 - Wurzel aus 3,25)
KEINE AHNUNG was das ist hab zwar f´´(x) aber muss ich für e dann die eulersche zahl nehmen???

21.02.2005, 21:00

iammrvip

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Ja, das ist immer die Euler'sche Zahl.

21.02.2005, 21:01

marcusf

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OK und gibts die auch irgendwo auf dem taschenrechner oder reichts wenn ich nen nährungswert nehme?

21.02.2005, 21:02

iammrvip

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Da muss es eine Taste auf dem Taschenrechner geben.

21.02.2005, 21:08

marcusf

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ok gefunden also kriege ich raus:
f´´(-3/2 + Wurzel aus 3,25) = 6,2341... -> minimum
f´´ (-3/2 - Wurzel aus 3,25) = -0,1326... -> maximum

21.02.2005, 21:11

iammrvip

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Zitat:

Original von marcusf
ok gefunden also kriege ich raus:
f´´(-3/2 + Wurzel aus 3,25) = 6,2341... -> minimum
f´´ (-3/2 - Wurzel aus 3,25) = -0,1326... -> maximum

Minimum und Maximum stimmt zwar, aber du hast dich irgendwo vertippt verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} f''\left(-\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}\right) &\approx 4.88 \\ f''\left(-\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}\right) &\approx -0.13 \end{eqnarray*}$

21.02.2005, 21:14

marcusf

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okay
dann jezz nur noch die wendestellen:
f´´(x) = 0
e^x * (x²+5x+2) = 0
x1 = -5/2 + Wurzel 4,25
x2= -5/2 - Wurzel 4,25

21.02.2005, 21:16

iammrvip

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Stimmt

Augenzwinkern

oder auch

$\begin{eqnarray*} x_{w_{1/2}} = -\frac{5}{2} \pm \frac{\sqrt{17}}{2} \end{eqnarray*}$

wie's dir besser gefällt smile

smile

21.02.2005, 21:20

marcusf

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ok und jezz nur noch prüfen ob es eine li-re oder re-li wende stelle is mit f´´´(x)
Und f´´´(x) = e^x + 7x + 7

21.02.2005, 21:21

iammrvip

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Nein. Du hast ein $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und die Klammern vergessen verwirrt

verwirrt

21.02.2005, 21:24

marcusf

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f´´´(x) = e^x * (x²+5x+2) + e^x * (2x+5)
= e^x [(x²+5x+2)+(2x+5)]
= e^x*(x²+7x+7)
So komme ich drauf

21.02.2005, 21:25

iammrvip

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Das stimmt Freude

Freude

21.02.2005, 21:31

marcusf

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ok
jezz brauch ich nur noch f´´´(-5/2 + Wurzel 4,25) =6,61893...-> re-li
f´´´(-5/2 - Wurzel 4,25) = 0,0431...-> li-re

21.02.2005, 21:34

iammrvip

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hmm ich komme auf

$\begin{eqnarray*} f'''\left(-\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}\right) &\approx 2.66 \\ f'''\left(-\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}\right) &\approx -0.04 \end{eqnarray*}$

21.02.2005, 21:36

marcusf

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aber es stimmen ja trotzdem die wendestellen (einmal re-li und einmal li-re)

OK.
jezz hab ich nur noch eine abschließende frage:
kann man den graph f(x) = (x²+x-2)*e^x auch irgendwie in derive darstellen. da kommt bei mir immer zu viele variablen oder so (der kommt anscheinend mit e^x nich klar)

21.02.2005, 21:37

iammrvip

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Du musst das anders eingeben:

$\begin{eqnarray*} \mathrm e^x := {\rm exp}(x) \end{eqnarray*}$

Also gibst du hier ein:

(x^2 + x - 2)*exp(x)

/edit: Hier mein Graph

21.02.2005, 21:41

marcusf

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AH OK UND WA SMUSS ICH EINGEBEN WENN ICH ZUM BEISPIEL f(x) = x*e^0,2x hab?

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