flächeninhalt mit parameterdarstellung

21.02.2005, 23:44

gast01445

flächeninhalt mit parameterdarstellung

hallo ich hab mal folgende frage bzw die folgende aufgabe.

berechnen sie den inhalt des sektors , der durch die kurven
$\begin{eqnarray*} y= \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} y= \frac{x}{3} \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$
begrenzt wird.

in kartesischen koordinaten ist dies ja einfach, aber ich will die aufgabe
mit Hilfe einer geeigneten parameterdarstellung lösen. mir fällt nicht ein wie.
könnt ihr mir helfen?

mfg martin

22.02.2005, 13:43

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RE: flächeninhalt mit parameterdarstellung

Zitat:

Original von gast01445
in kartesischen koordinaten ist dies ja einfach, aber ich will die aufgabe
mit Hilfe einer geeigneten parameterdarstellung lösen. mir fällt nicht ein wie.

Mir auch nicht, weil ich überhaupt nicht weiß, was du hier bei dieser Aufgabe mit einer "Parameterdarstellung" anfangen willst. Etwa eine Parameterdarstellung der (dreiteiligen) Umrandungskurve des Gebietes? Damit wirst du bei der Flächenberechnung auch nicht glücklicher, soviel ist mal klar.

Und überhaupt: Wenn du eine "einfache" Methode kennst, wie man die Aufgabe lösen kann, warum löst du sie dann nicht einfach?

22.02.2005, 14:50

Leopold

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VORSICHT - DIESER BEITRAG IST NICHT ERNST GEMEINT, ABER SORGFÄLTIG DURCHGERECHNET!

Wir betrachten auf dem positiv orientierten Gebiet $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene, das durch die drei Graphen mit den Gleichungen

$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{3}x \; , \ \ y = \sqrt{x} \; , \ \ y = \frac{1}{2}x \end{eqnarray*}$

begrenzt wird, die Differentialform

$\begin{eqnarray*} \omega = -\frac{y}{2} \; \mathrm{d}x + \frac{x}{2} \; \mathrm{d}y \end{eqnarray*}$

Man berechnet

$\begin{eqnarray*} \mathrm{d}\omega = \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y \end{eqnarray*}$

und erhält nach dem Satz von Stokes für den Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} F(G) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ den Wert:

$\begin{eqnarray*} F(G) = \int_G^{}~~\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y \ = \ \int_{\partial G}^{}~\left( -\frac{y}{2} \; \mathrm{d}x + \frac{x}{2} \; \mathrm{d}y \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \ \int_0^9~\left( -\frac{t}{6} + \frac{t}{6} \right)~\mathrm{d}t \ - \ \int_4^9~\left( -\frac{\sqrt{t}}{2} + \frac{\sqrt{t}}{4} \right)~\mathrm{d}t \ - \int_0^4~\left( -\frac{t}{4} + \frac{t}{4} \right)~\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \ \int_4^9~\frac{\sqrt{t}}{4}~\mathrm{d}t \ = \ \frac{19}{6} \end{eqnarray*}$

Dabei wurden die folgenden Parametrisierungen verwendet:

$\begin{eqnarray*} x = t \; , \ \ y = \frac{1}{3}t \ \ (0 \leq t \leq 9) \end{eqnarray*}$ für die Strecke von (0,0) bis (9,3)

$\begin{eqnarray*} x = t \; , \ \ y = \sqrt{t} \ \ (4 \leq t \leq 9) \end{eqnarray*}$ für das Graphenstück der Wurzelfunktion von (4,2) bis (9,3)

$\begin{eqnarray*} x = t \; , \ \ y = \frac{1}{2}t \ \ (0 \leq t \leq 4) \end{eqnarray*}$ für die Strecke von (0,0) bis (4,2)

Big Laugh

22.02.2005, 15:47

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Mit Polarkoordinaten $\begin{eqnarray*} x=r(t)\cos t,\,y=r(t)\sin t \end{eqnarray*}$ der Kurve $\begin{eqnarray*} y(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ und anschließend
$\begin{eqnarray*} F=\int\limits_{\arctan(1/3)}^{\arctan(1/2)}~\frac{(r(t))^2}{2}~dt \end{eqnarray*}$
geht's auch, wenn man's unbedingt kompliziert haben will.

22.02.2005, 15:58

kurellajunior

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Warum habt Ihr beiden euch eigentlich nicht genauso freudig an dem Tattoothread beteiligt. Da hättet Iht auch ordentlich "Verkomplizieren" dürfen!

Augenzwinkern

Jan

22.02.2005, 16:38

Leopold

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Um zu überprüfen, ob meine Rechnung stimmt, gehe ich jetzt noch Arthurs Vorschlag durch. Die Umrechnung in Polarkoordinaten liefert mit $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} r^2 = x^2 + y^2 = x^2 + x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tan{t} = \frac{y}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Indem man die letzte Gleichung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auflöst und dies in die erste einsetzt, erhält man

$\begin{eqnarray*} r^2 = \frac{1}{\tan^4{t}} + \frac{1}{\tan^2{t}} = \frac{1 + \tan^2{t}}{\tan^4{t}} = \frac{\frac{\mathrm{d} \tan{t}}{\mathrm{d}t}}{\tan^4{t}} \end{eqnarray*}$

Das gibt für den Flächeninhalt:

$\begin{eqnarray*} F(G) = \frac{1}{2} \int_{\arctan{\frac{1}{3}}}^{\arctan{\frac{1}{2}}}~r^2~\mathrm{d}t \ = \ \frac{1}{2} \int_{\arctan{\frac{1}{3}}}^{\arctan{\frac{1}{2}}}~\frac{\mathrm{d} \tan{t}}{\tan^4{t}} \ = \ \frac{1}{2} \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}~\frac{\mathrm{d}u}{u^4} \ = \ \frac{19}{6} \end{eqnarray*}$

Man kann es anstellen, wie man will - immer kommt $\begin{eqnarray*} \frac{19}{6} \end{eqnarray*}$ heraus.

Wer findet weitere Methoden zur Berechnung der Fläche?

23.02.2005, 15:06

gast01445

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flächeninhalt mit parameterdarstellung
hey , ich danke euch allen für diese gut ausgeführten rechnungen.

ihr habt mir sehr geholfen.

@arthur: die aufgabe stammt von einem aufgabenblatt meiner uni und ich wusste nicht wie es geht.

Gott

23.02.2005, 15:19

Leopold

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Ich hoffe nur, daß dir klar ist, daß diese Rechnungen nicht ernst gemeint sind, da überall mit "Kanonen auf Spatzen geschossen wird". Die übliche Lösung würde einfach mit elementarer Integralrechnung, wie sie an der Schule gelehrt wird, gehen.

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