alleitung von e^x

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23.02.2005, 18:40	SaschAR	Auf diesen Beitrag antworten »
alleitung von e^x hi, also ich weiß schon dass die ableitung von e^x wieder e^x ergibt, aber warum? Also meine lehrerin formulierte es so: "e anhand der Suche nach der fkt., die mit ihrer Ableitung übereinstimmt" dann meinte sie noch was von wegen intervallschachtelung...HILFE!!!!wäre nett wernn mir wer antworten würde. gruß SaschAR
23.02.2005, 18:45	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt sehr viele Möglichkeiten, das zu beweisen. Es kommt aber erstmal ganz darauf an, wie ihr e definiert habt. Und für die Schule ist das "warum" eher unüblich, da es meistens doch zu schwer ist, das 'normalen' Schülern zu erklären.
23.02.2005, 19:10	SaschAR	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das ist ja auch für meine facharbeit. und sie meinte halt das ich e so herleiten soll, dass ich die jenige funktion suche bei der die ableitung gleich der ur-funktion ist. wie mach ich das mit ner intervallschachtelung?
23.02.2005, 19:19	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll das heißen, dass du e noch nicht definiert hast? Dann kannst du auch nichts herleiten ... Sollst du e vielleicht sogar darüber definieren, dass $\begin{eqnarray} \left(e^x\right)'=e^x \end{eqnarray}$ ?? Dann weiß ich nich, wie du da etwas herleiten willst, denn eine Definition kann man nicht herleiten. Oder sollst du dann e vielleicht "nur" berechnen?
23.02.2005, 19:42	SaschAR	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ich soll e berechnen... aber ich suche doch eigentlich nur die zahl e. kannst du mir sagen wieso das mit der ableitung so ist? und wie nähere ich mich der zahl, so wie meine lehrerin das will?
23.02.2005, 19:49	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, wie gesagt: Dass das gilt, das kann man herleiten, aber eben nur, wenn man e vorher definiert hat. Wenn das allerdings die Definition von e werden soll, dann kann man da nichts erklären, weil eine Definition einfach nur etwas ist, womit man etwas festlegt. Das einzige, was man zeigen müsste, ist, dass eine solche Zahl existiert und dass es nur eine solche Zahl gibt. Aber erklären kann man da nicht viel, wenn du vorher keine Definition von e gibst. edit: Und da ich kein Hellseher bin, weiß ich auch nicht, was deine Lehrerin will ...
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23.02.2005, 21:53	dilemma	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau mal hier
24.02.2005, 10:26	SaschAR	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich soll die ableitungen folgender funktionen untersuchen und mich so dann e nähern: (weil ich ja die Funktion suche,die abgeleitet übereinstimmt) y=2^x y=3^x dazwischen liegt ja e...also soll ich dann immer näher an e rankommen. aber wie mach ich das???? ganz nebenbei: wenn ich versuche e^x abzuleiten kommt da für mich immer x*e^(x-1) heraus...is wohl falsch, aber wie gehts richtig?
24.02.2005, 11:41	swerbe	Auf diesen Beitrag antworten »
hi, nunja eine sehr "naive" ableitung der e-funktion wäre die ableitung mittels kettenregel.... d.h. leite den exponenten ab, aus x wird 1....diesen stellst du vor die e-funktion, so entsteht 1*e^x und das ist ja gerade e^x.
24.02.2005, 16:07	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@swerbe Die Kettenregel auf Funktion der Form $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h(x)=f(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x)=x \end{eqnarray}$ anzuwenden, ist sinnlos. Denn dann kommt man auch nur auf die Ableitung $\begin{eqnarray} 1\cdot f'(x) \end{eqnarray}$ . In deinem Fall auch. Man käme auf $\begin{eqnarray} (e^x)'=1\cdot (e^x)' \end{eqnarray}$ , eine nichts einbringende triviale Gleichung. @SaschAR Die Regel $\begin{eqnarray} (x^n)'=nx^{n-1} \end{eqnarray}$ gilt doch nur für Potenzfunktionen, wo x in der Basis steht und eine Zahl im Exponenten, z.B. $\begin{eqnarray} (x^3)'=3x^2 \end{eqnarray}$ !! Eine Exponentialfunktion ist doch aber was ganz anderes, dafür kannst du diese Regel nicht anwenden! Hier steht doch x im Exponenten!!! Und in der Basis steht eine Zahl! Also gilt diese Regel nicht. Kennst du den Differentialquotienten? Den musst du benutzen. Demnach ist für Funktionen der Form $\begin{eqnarray} f(x)=a^x \end{eqnarray}$ ja die Ableitung $\begin{eqnarray} f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^x\cdot a^h-a^x}{h} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\lim_{h\to 0}\frac{a^x(a^h-1)}{h}=a^x\cdot \lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} \end{eqnarray}$ Also muss ja für e gelten, dass $\begin{eqnarray} \lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1 \end{eqnarray}$ ist, denn nur dann ist $\begin{eqnarray} f'(x)=e^x\cdot \lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=e^x\cdot 1=e^x \end{eqnarray}$ Jetzt musst du also die Zahl e so finden, dass $\begin{eqnarray} \lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1 \end{eqnarray}$ ist. In diesem schönen Link wird das auf den ersten 5 Seiten ganz gut dargstellt, da dürfte eigentlich auch dann fast alles stehen, was deine Lehrerin möchte.

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