Fehleranalyse LGS

08.08.2007, 00:33

marcel!

Fehleranalyse LGS

Bei meinem Problem ist gegeben:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 0,9 \\ 1 & 1,1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_1 = \begin{pmatrix} 1,9 \\ 2,1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_1 = b \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} b_2 = \tilde b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i) \end{eqnarray*}$ Als erstes sollten $\begin{eqnarray*} Ax_1=b_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Ax_2=b_2 \end{eqnarray*}$ berechnet werden. Das habe ich getan.

$\begin{eqnarray*} ii) \end{eqnarray*}$ Dann soll der relative Fehler in $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ berechnet werden. Anschließend noch die Norm des Residuums der gestörten Lösung $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ .

Sorry, aber von der Fehleranalyse für die LGS habe ich noch nichts gehört. Die Formel, die ich dazu häufiger gefunden habe, kann ich nicht auf das Problem anwenden. Sie sind mir einfach nicht klar geworden...

Danke & Gruß,

Marcel

Modedit: Die Schlange heisst \tilde

08.08.2007, 02:06

tigerbine

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RE: Fehleranalyse LGS
Welche Formel hast du denn gefunden? Mit google + numerik I + Kondition einer Matrix und ggf. (Störungssatz, Störungslemma) sollte man schon etwas finden.

Zitat:

"Die Norm des Residuums"

Welche Norm denn? Welches Residuum?

Und warum ist $\begin{eqnarray*} b_1=b \end{eqnarray*}$ . Ist in dem Fall also der Vektor nicht gestört? verwirrt

Im Grunde willst Du hier untersuchen, wie sich die Störung in b bei ungestörtem A auf die Lösung "x" überträgt.

Gruß,
tigerbine Schläfer

08.08.2007, 15:32

marcel!

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Also der relative Fehler berechnet sich ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} \mid\mid (x - \tilde x)/x \mid\mid \end{eqnarray*}$ = 1 in dieser Aufgabe.

Das Residuum ist auch schnell berechnet durch $\begin{eqnarray*} r = \tilde b - b \end{eqnarray*}$ = 0,1.

Die Konditionszahl erhält man durch $\begin{eqnarray*} k(A) = \mid A \mid \mid A^{-1} \mid \end{eqnarray*}$ .

08.08.2007, 17:09

tigerbine

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Bei Matrizen bitte ||.|| für Normen. Welche Norm möchtest Du denn gerne nehmen? Oder sollst du nehmen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Normierter_Raum#Matrixnormen

Ist es so schwer, die (i) einfach hier mal hinzuschreiben, dass man sieht was Du getan hast? Warum muss ein Helfer sich erst selbst $\begin{eqnarray*} x_1,~x_2 \end{eqnarray*}$ berechnen, wo Du es anscheindend schon getan hast? So ist das Board nicht gedacht.

Unter Residuum versteht man formal erstmal

$\begin{eqnarray*} r:=b-A \tilde x \end{eqnarray*}$

Also schreib die Aufgabe doch einmal "sauber au". Danke Wink

08.08.2007, 22:56

marcel!

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$\begin{eqnarray*} x_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

relativer Fehler:

$\begin{eqnarray*} \frac{ \mid \mid x_1 - x_2 \mid \mid } { \mid \mid x_1 \mid \mid } \end{eqnarray*}$ = 1

Residuum:

$\begin{eqnarray*} r = \mid \mid r \mid \mid = \tilde b - b \end{eqnarray*}$ = 0,1

Konditionszahl

$\begin{eqnarray*} \frac{ \mid \mid x_1 - x_2 \mid \mid } { \mid \mid x_1 \mid \mid } \leq k(A)\cdot \frac{ \mid \mid b - \tilde b \mid \mid } { \mid \mid b \mid \mid } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \leq k(A) \cdot \frac{0,1}{2,1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow k(A) = 21 \end{eqnarray*}$

08.08.2007, 23:00

tigerbine

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Fast

Zitat:

Welche Norm möchtest Du denn gerne nehmen? Oder sollst du nehmen.

du bist schon Fragenresistent, oder? Augenzwinkern

09.08.2007, 00:52

marcel!

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Hi tigerbine, ich hab das ehrlich gesagt mit der Norm nicht verstanden und die Aufgabe nur so weit gelöst wie vorhin ich gekommen bin.
Hab mich da nicht so lang mit aufgehalten, weil ich weiterkommen muss im Text Augenzwinkern

Sorry, wenn die Musterlösungen online gestellt werden, poste ich das.

09.08.2007, 00:57

tigerbine

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Breitbandantibiotikum :-)
Ich nehme jetzt einfach mal als Vektornorm die euklidische und deren induzierte Matrixnorm, die Spektralnorm. Betrachtet wird das theor. LGS:

$\begin{eqnarray*} Ax = b \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0.9 \\ 1 & 1.1 \end{pmatrix} x = \begin{pmatrix} 1.9 \\ 2.1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die exakte Lösung lautet (offensicht)

$\begin{eqnarray*} x= \begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix} =:x_1 \end{eqnarray*}$

Wie verändert sich nun die Lösung allein dadurch, dass der Vektor b gestört wird?

$\begin{eqnarray*} \hat b = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ax = \hat b \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0.9 \\ 1 & 1.1 \end{pmatrix} x = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Lösung lautet nun:

$\begin{eqnarray*} \hat x = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

D.h. der relative Fehler in b von

$\begin{eqnarray*} \frac{||b-\hat b||_2}{||b||_2} = \frac{\sqrt{0.1^2+0.1^2}}{\sqrt{1.9^2+2.1^2}}=\frac{\sqrt{0.02}}{\sqrt{8.02}}\approx 0.016 = 1.6% \end{eqnarray*}$

Geht noch weiter... habe nur gerade deine Antwort gesehen...

09.08.2007, 01:26

tigerbine

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RE: Breitbandantibiotikum :-)
Welchen rel. Fehler in x hat das zu Folge?

$\begin{eqnarray*} \frac{||x-\hat x||_2}{||x||_2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1 = 100 % \end{eqnarray*}$

Eine ganze Menge Menge Holz. Wie können wir uns das erklären? Mit der Kondition der Matrix A. Sie ist der "Verstärkungsfaktor" des rel. Fehlers von b.

Die Matrix ist regulär, und mit der Formel für 2x2 Matrizen findet man ihre Inverse auch recht schnell.

$\begin{eqnarray*} A^{-1} = \begin{pmatrix} 5.5&-4.5 \\ -5 & 5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^TA =\begin{pmatrix} 2&2 \\ 2 & 2.02\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A^{-1})^TA^{-1} =\begin{pmatrix} 55.25&-49.75 \\ -49.75 & 45.25\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{cond(A)} &&= ||A||_2||A^{-1}||_2 \\&&=\sqrt{\lambda_{max}(A^TA)} \cdot \sqrt{\lambda_{max}(A^{-1})^TA^{-1})}\\&& \approx 2.003 \cdot 10.013 \approx 20.056 \end{eqnarray*}$

Die beste Kondition wäre 1, somit wissen wir nun, wie es zu der großen Abweichung in der Lösung kommt.

nun noch der Rest. Dazu mal den Begriff "absoluter Fehler" anschauen

$\begin{eqnarray*} r:=b-A \hat x = b - \hat b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ||r||_2 = ||b-\hat b||_2 =\sqrt{0.02} \approx 0.141 \end{eqnarray*}$

Warum wir nun noch

$\begin{eqnarray*} ||\hat x||_2 = 2 \end{eqnarray*}$

betrachten sollen, weiß ich nicht. Eigentlich hätte ich

$\begin{eqnarray*} ||x-\hat x||_2 =\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

erwartet. verwirrt

09.08.2007, 01:58

marcel!

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tigerbine, danke dass du das alles so ausführlich nochmal aufgeschrieben hast! smile

Das ist jetzt schon das x.-te Mal, dass du mir hilfst, und das auch noch zu so einer unchristlichen Zeit Augenzwinkern

Also, dass ich die Kondition nicht genau getroffen habe wie du liegt daran, dass wir zur Klausur die Inverse einer Matrix nicht bestimmen können müssen. Es ist halt nicht ganz richtig wie wir es machen sollen und daher kommt der Fehler...hätte ich dabei sagen sollen, weil es eigentlich klar ist, dass das dir ein Dorn im Auge ist...naja

Aber deine Nebensätze zu den einzelnen Schritten haben mich trotzdem weitergebracht. Es ist schon gut den Zusammenhang mit der Kondition und dem rel. Fehler zu kennen. Diese Sorte von Aufgabe bringt unser Prof eigentlich jedes Mal. Ist halt auch einer aus der Numerik..

Grüße Schläfer

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