0,[periode]9 = 1

23.02.2005, 22:19

Gast

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0,[periode]9 = 1

Als mein Lehrer versuchte mir zu beweisen dass 0,[periode]9 = 1 ist und mir verschiedene "Beweise" vorlegte
habe ich beschlossen mich selbst zu erkundigen.

Mir ist bewusst dass der Grenzwert von 0,[periode]9 natürlich 1 ist, jedoch bin ich mit der Aussage 0,[periode]9 = 1
nicht einverstanden. Ich denke die Zahl 0,[periode]9 nähert sich unendlich nah an 1 an, sie wird jedoch nie 1.

Nach langen Diskussionen mit verschiedenen Mathamatik- und Physiklehrern an meiner
Schule sind wir auf interessante Ansätze gestoßen.

Beweis 1

10K = 9.999...
- K = .9999...
________________
9K = 9
K = 1

Beweis 2

0,[periode]3 = 1/3
1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 = 1
--> 0,[periode]9 = 1

23.02.2005, 22:34

Mathespezialschüler

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Verschoben

Eigentlich sieht man 0.99999... nicht als Zahl an.
Aber wenn man doch will, es ist 0.9999999...=1!!
2 Argumente hast du selbst schon gebracht, das zweite kann man auch etwas anders fassen:

$\begin{eqnarray*} 0,\overline{9}=\frac{9}{9}=1 \end{eqnarray*}$

Ein weiteres: Wären die beiden Zahlen verschiedene reelle Zahlen, so gäbe es zwischen ihnen unendlich viele weitere reelle Zahlen und hier wirst du nicht eine finden!

24.02.2005, 01:39

JochenX

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deshalb finger weg von solchen unsinnigen ausdrücken....
1/3=1/3 und nix mit komischen kommazahlen unglücklich

unglücklich

Zitat:

Beweis 1

10K = 9.999...
- K = .9999...
________________
9K = 9
K = 1

also das ist ja wohl.... uargs!

24.02.2005, 07:00

Leopold

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Zitat:

Original von LOED

Zitat:

Beweis 1

10K = 9.999...
- K = .9999...
________________
9K = 9
K = 1

also das ist ja wohl.... uargs!

Wo ist das Problem? Die Rechnung ist absolut korrekt. Rechts stehen konvergente unendliche Reihen, sogar geometrische Reihen. Und mit unendlichen Reihen rechnet man nun einmal so. (Der Beweis für die Summenformel der unendlichen geometrischen Reihe geht im übrigen doch genau so: Die Reihe mit dem Quotienten q aufeinanderfolgender Glieder multiplizieren und beide Reihen voneinander subtrahieren - und hier ist q=1/10.)

Eine andere Frage ist, ob dieser "Beweis" taugt für jemanden, der sich mit unendlichen Reihen nicht auskennt. Dann ist das nämlich ein reiner "Überrumpelungsbeweis", gegen den der Verständnissuchende machtlos ist: Er versteht nicht, wie ihm geschieht, wird das Ganze wohl infolge höherer Autorität für richtig halten, ohne es wirklich begriffen zu haben.

24.02.2005, 09:50

AD

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Wenn ich so an meine Schulzeit zurückdenke, da wurden uns Neunerperioden gewissermaßen "verboten". So kann man die Eindeutigkeit der Dezimaldarstellung natürlich auch erzwingen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Siehe auch folgenden Tadel, den ich mir mal (völlig zu Recht) von Leopold eingefangen habe. Big Laugh

Big Laugh

24.02.2005, 20:30

Gast

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Also sehe ich das Richtig dass die 2 "Beweise" mathematisch absolut korrekt sind?

Mein Gedanke: wenn ich $\begin{eqnarray*} 0,9[periode]3 - 0,0[periode]3 \end{eqnarray*}$ rechne dann ist es absolut richtig dass das Ergebnis 0,9 ist.
Wenn ich jedoch 0,[periode]9 minus 0,0[periode]9 rechne dann rechne ich ja theoretisch die 2. Stelle der "Zahl" [periode]9 minus die erste stelle der Zahl [periode]9 ... Hat jemand verstanden was ich damit meine?

0,[periode]9 ist ja eine unendliche Reihe ... kann man so einfach mit unendlichen Reihen rechnen?

Zitat:

Eigentlich sieht man 0.99999... nicht als Zahl an.

ja 0,[periode]9 ist eine Reihe oder bezeichnet man es als Zahl?

Zitat:

Eine andere Frage ist, ob dieser "Beweis" taugt für jemanden, der sich mit unendlichen Reihen nicht auskennt. Dann ist das nämlich ein reiner "Überrumpelungsbeweis", gegen den der Verständnissuchende machtlos ist: Er versteht nicht, wie ihm geschieht, wird das Ganze wohl infolge höherer Autorität für richtig halten, ohne es wirklich begriffen zu haben.

Das stimmt auf jeden Fall, als einige Mitschüler den "Beweis 1" sagen den ihnen mein Mathelehrer vor die Nase geknallt hat stimmten sie alle zu: "0,[periode]9 muss 1 sein" ... [/quote]

Ich gehe das Ganze mit Logik an, und im Unendlichen wird es immer weitere 9er geben und somit wird es immer ein stück kleiner sein als 1 ... oder ist mein Problem dass meine Logik nicht logisch ist?

Zitat:

o das ist ja wohl.... uargs!

was willst du damit ausdrücken?

Zitat:

Wären die beiden Zahlen verschiedene reelle Zahlen, so gäbe es zwischen ihnen unendlich viele weitere reelle Zahlen und hier wirst du nicht eine finden!

ist denn 0,[periode]9 eine reelle Zahl? Ich weis nicht ob sie als solche definiert wird aber oo ist ja auch keine reelle Zahl ...

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24.02.2005, 20:44

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Gast
Ich gehe das Ganze mit Logik an, und im Unendlichen wird es immer weitere 9er geben und somit wird es immer ein stück kleiner sein als 1 ... oder ist mein Problem dass meine Logik nicht logisch ist?

[...]

Zitat:

Wären die beiden Zahlen verschiedene reelle Zahlen, so gäbe es zwischen ihnen unendlich viele weitere reelle Zahlen und hier wirst du nicht eine finden!

ist denn 0,[periode]9 eine reelle Zahl? Ich weis nicht ob sie als solche definiert wird aber oo ist ja auch keine reelle Zahl ...

Wenn du sozusagen unendlich viele 9en hinschreibst, dann ist es =1 und es gibt da keinen Unterschied!
Gehen wir mal zur angesprochenen Reihe. Es gilt

$\begin{eqnarray*} 0,\overline{9}=9\cdot \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{10^n} \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt irgendwann aufhörst, 9en zu schreiben, also z.B. 0,99999 oder 0,9999999999999, dann gibt es immer einen Abstand. Aber je mehr 9en du schreibst, desto kleiner wird der Abstand und wenn du letztendlich die Anzahl der 9en gegen unendlich gehen lässt, dann wird es doch 1.
Das ist alles im Grunde genommen nur die Konvergenz der oben angegeben Reihe. Die konvergiert ja und geht gegen 1, das heißt in diesem Fall, es ist immer ein Abstand da, aber der wird beliebig klein und für $\begin{eqnarray*} \mbox{Anzahl der 9en}\to \infty \end{eqnarray*}$ geht der eben gegen 0.
Das ist die Quintessenz der Konvergenz. Wenn du das Thema schon hattest, dann sollte dir das klar werden!

Nein, $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} \end{eqnarray*}$ ist keine Zahl, zumindest wird sie nicht als Zahl definiert. Denn sie ist ja genau 1 und zwei verschiedene Dezimalschreibweisen für eine Zahl widersprechen der Eindeutigkeit der Dezimalschreibweise einer reellen Zahl.

24.02.2005, 20:58

Leopold

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Nein, $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} \end{eqnarray*}$ ist keine Zahl, zumindest wird sie nicht als Zahl definiert. Denn sie ist ja genau 1 und zwei verschiedene Dezimalschreibweisen für eine Zahl widersprechen der Eindeutigkeit der Dezimalschreibweise einer reellen Zahl.

Na!

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{6} \end{eqnarray*}$ ist keine Zahl, zumindest wird sie nicht als Zahl definiert. Denn sie ist ja genau $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ und zwei verschiedene Bruchschreibweisen für eine Zahl widersprechen der Eindeutigkeit der Bruchschreibweise für eine rationale Zahl.

Glaubst du das wirklich?

24.02.2005, 21:11

Gast

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Zitat:

beliebig klein und für $\begin{eqnarray*} \mbox{Anzahl der 9en}\to \infty \end{eqnarray*}$ geht der eben gegen 0.

könnte man nicht sagen der Abstand geht gegen 0, somit geht $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} \end{eqnarray*}$ gegen 1 aber der Abstand wird nie null und $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} \end{eqnarray*}$ wird nie 1?

Zitat:

Na!

\frac{4}{6} ist keine Zahl, zumindest wird sie nicht als Zahl definiert. Denn sie ist ja genau \frac{2}{3} und zwei verschiedene Bruchschreibweisen für eine Zahl widersprechen der Eindeutigkeit der Bruchschreibweise für eine rationale Zahl.

Glaubst du das wirklich?

der Ansatz von Leopold ist auch sehr interessant

Zitat:

Das ist die Quintessenz der Konvergenz.

Eine Folge konvergiert gegen einen Grenzwert ... das heist doch aber nicht dass die Folge dem Grenzwert entspricht?!
Wenn ich doch schreibe $\begin{eqnarray*} f(x) = 1/x \end{eqnarray*}$ dann wird f(x) niemals 0 werden, es konvergiert gegen 0 aber wird es doch nie ...

24.02.2005, 21:13

Leopold

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Mein Beitrag war natürlich nicht ernst gemeint, sondern eher als "Nasenstüber" für MSS gedacht.

24.02.2005, 21:13

Gast

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kann mir niemand einen mathematischen Beweis bringen dass [latex] 0,\overline{9} [l/atex] nicht 1 ist?

24.02.2005, 21:15

Leopold

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Es ist halt schwer, etwas Richtiges zu widerlegen.

24.02.2005, 21:16

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

nö, geht nicht, schließlich ist es das ja....
zeigen dass 5 nicht gleich 5 ist geht ja auch nicht......

edit: zu spät, leopold war schneller........

24.02.2005, 21:33

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Nein, $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} \end{eqnarray*}$ ist keine Zahl, zumindest wird sie nicht als Zahl definiert. Denn sie ist ja genau 1 und zwei verschiedene Dezimalschreibweisen für eine Zahl widersprechen der Eindeutigkeit der Dezimalschreibweise einer reellen Zahl.

Na!

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{6} \end{eqnarray*}$ ist keine Zahl, zumindest wird sie nicht als Zahl definiert. Denn sie ist ja genau $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ und zwei verschiedene Bruchschreibweisen für eine Zahl widersprechen der Eindeutigkeit der Bruchschreibweise für eine rationale Zahl.

Glaubst du das wirklich?

Ich habe nicht behauptet, dass die Bruchschreibweise eindeutig ist, dass sich also jede rationale Zahl durch einen völlig eindeutig bestimmten Bruch darstellen lässt.
Ich habe "nur" behauptet, dass sich jede reelle Zahl durch einen völlig eindeutig bestimmten Dezimalbruch darstellen lässt!! Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.02.2005, 22:19

Guest

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wenn $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} = 1 \end{eqnarray*}$ was ist dann $\begin{eqnarray*} 0,\overline{3} \end{eqnarray*}$ ... natürlich ist es $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ aber ich meine man kann es doch nicht anders ausdrücken als $\begin{eqnarray*} 0,\overline{3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n*3} \end{eqnarray*}$

24.02.2005, 22:25

Mathespezialschüler

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Das Problem ist einfach, dass 0,99999999...=9/9=1 ist, bei 0,33333333=3/9=1/3 findest du halt keinen weiteren Ausdruck dafür, aber das hat doch auch nichts zu sagen! Nur weil es beides periodische Dezimalzahlen sind, muss für sie doch nicht sofort das gleiche gelten!

24.02.2005, 22:29

JochenX

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aber statt 1/3 einfach $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n*3} \end{eqnarray*}$ zu sagen hat doch stil Hammer

Hammer

edit: und gilt auch nicht allgemeingültig, da musst du noch n=0 ausschließen

24.02.2005, 22:40

Gast

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Zitat:

aber statt 1/3 einfach $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n*3} \end{eqnarray*}$ zu sagen hat doch stil

ja ich wollte vermeiden dass du $\begin{eqnarray*} \frac{2}{6} \end{eqnarray*}$ sagst Augenzwinkern

Augenzwinkern

sagt mal was gegen das was ich geschrieben habe:

Zitat:

Könnte man nicht sagen der Abstand geht gegen 0, somit geht $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} \end{eqnarray*}$ gegen 1 aber der Abstand wird nie null und $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} \end{eqnarray*}$ wird nie 1? ...

... Eine Folge konvergiert gegen einen Grenzwert ...
Wenn ich doch schreibe $\begin{eqnarray*} f(x) = 1/x \end{eqnarray*}$ dann wird f(x) niemals 0 werden, es konvergiert gegen 0 aber wird es doch nie ...

24.02.2005, 22:51

Gast

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Zitat:

edit: und gilt auch nicht allgemeingültig, da musst du noch n=0 ausschließen

das stimmt auch noch nicht ganz, so ist es Allgemeingültig:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n*3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb D = \{ \mathbb N \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} 0\} \end{eqnarray*}$

24.02.2005, 22:52

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Du vertauschst da die Folge und den Grenzwert. Sei $\begin{eqnarray*} a_n=\begin{matrix}\ \\ \underbrace{0,9999...9999} \\ \textrm{n-mal}\end{matrix} \end{eqnarray*}$ , also abbrechend! Z.B. $\begin{eqnarray*} a_3=0,999 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a_9=0,999999999 \end{eqnarray*}$ .
Und jetzt füge ich das in deinen Text ein, sodass es passt:

Könnte man nicht sagen der Abstand geht gegen 0, somit geht $\begin{eqnarray*} a_n=\begin{matrix}\ \\ \underbrace{0,9999...9999} \\ \textrm{n-mal}\end{matrix} \end{eqnarray*}$ gegen 1 aber der Abstand wird nie null und $\begin{eqnarray*} a_n=\begin{matrix}\ \\ \underbrace{0,9999...9999} \\ \textrm{n-mal}\end{matrix} \end{eqnarray*}$ wird nie 1? ...

So wäre es richtig. Aber wir wissen ja, dass der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ 1 ist und er ist auch $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} \end{eqnarray*}$ . Das is auch ne Plausibilitätserklärung für $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9}=1 \end{eqnarray*}$ !

24.02.2005, 23:21

Gast

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okay es ist ein weiterer Beweis dafür das mathematisch gesehen $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} = 1 \end{eqnarray*}$ ist ... aber gehen wir das ganze doch mal mit logik an

Für euch ist $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} = 1 \end{eqnarray*}$ weil es den Grenzwert 1 hat.

Für mich ist $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} \neq 1 \end{eqnarray*}$ weil egal wie wie nah man an 1 kommt, es wird niemals 1 werden da im undendlichen immernoch eine Differenz zwischen 1 und $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} \end{eqnarray*}$ ist. Genauso kann ich 1 durch $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ teilen, es wird doch niemals 0 werden.

Das Problem liegt einfach darin dass man $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} \end{eqnarray*}$ mathematisch sehen kann aber die Logik dem ganzen doch widerspricht.
Auf jeden fall meine (un)Logik.

24.02.2005, 23:24

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

"0,9periode" hat keinen grenzwert, da irrst du.
MSS folge, die gegen 0,9periode konvergiert hat einen grenzwert, 1.
aber eine zahl ist eine zahl ist eine zahl.
die ist und konvergiert nicht.

24.02.2005, 23:27

Gast

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

aber eine zahl ist eine zahl ist eine zahl.

$\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} \end{eqnarray*}$ ist doch keine Zahl, es ist eine Folge

24.02.2005, 23:34

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

a_1=0,9
a_2=0,99
a_3=0,999

a_n=.... steht vorne schon, ich will jetzt nicht texen, das ist eine folge

0,9 periode ist ein zahl.

25.02.2005, 06:13

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ich habe nicht behauptet, dass die Bruchschreibweise eindeutig ist, dass sich also jede rationale Zahl durch einen völlig eindeutig bestimmten Bruch darstellen lässt.
Ich habe "nur" behauptet, dass sich jede reelle Zahl durch einen völlig eindeutig bestimmten Dezimalbruch darstellen lässt!! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Eben.
Und genau das Letzte ist falsch. Durch die (natürlich falsche) Analogiebildung bei Brüchen wollte ich dich darauf stoßen. Aber du läßt dich einfach nicht davon abbringen ...

Zitat:

Original von Gast

Zitat:

aber eine zahl ist eine zahl ist eine zahl.

$\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} \end{eqnarray*}$ ist doch keine Zahl, es ist eine Folge

Jeder Dezimalbruch ist nur eine Schreibweise für eine Zahl, und zwar ist die dargestellte Zahl eben genau der Grenzwert der dem Dezimalbruch zugrundeliegenden Folge. Und das ist gar nichts Besonderes bei $\begin{eqnarray*} 0,\bar{9} \end{eqnarray*}$ , das ist bei jeder reellen Zahl so.

$\begin{eqnarray*} a_0 = 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1 = 3,\!1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2 = 3,\!14 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_3 = 3,\!141 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_4 = 3,\!1415 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_5 = 3,\!14159 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = 3,\!14159\ldots = \pi \end{eqnarray*}$

Du hast die drei Pünktchen noch nicht verstanden. Den Schritt von "furchtbar viel" nach "Unendlich" hast du gedanklich noch nicht bewältigt. "Unendlich viele Neunen" bedeutet eben mehr als "sehr viele", ja mehr als 1000 Neunen, sogar mehr als 1000000 Neunen, ja mehr, als jede Anzahl von Neunen, die du dir überhaupt vorstellen kannst.
Das ist fast wie im Traum: Der Jüngling sieht seine Angebetete, er kommt ihr immer näher und näher, schon will er sie fassen, aber letztlich ist sie jenseits seiner Gedanken, er bekommt sie nicht. Und diesen letzten Sprung hinter seine Gedanken, den muß er noch wagen. Dann steht seliger Umarmung nichts mehr im Wege ...

25.02.2005, 09:43

kurellajunior

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Das ist fast wie im Traum: Der Jüngling sieht seine Angebetete, er kommt ihr immer näher und näher, schon will er sie fassen, aber letztlich ist sie jenseits seiner Gedanken, er bekommt sie nicht. Und diesen letzten Sprung hinter seine Gedanken, den muß er noch wagen. Dann steht seliger Umarmung nichts mehr im Wege ...

Endlich mal ein Bild für die Unendlichkeit, mit dem auch Nichtmathematikern dieses Phänomen vielleicht erklärt werden kann. *freu* und Danke Leopold.

25.02.2005, 12:38

Gast

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Den Schritt von "furchtbar viel" nach "Unendlich" hast du gedanklich noch nicht bewältigt. "Unendlich viele Neunen" bedeutet eben mehr als ... jede Anzahl von Neunen, die du dir überhaupt vorstellen kannst.

Ja, ich denke genau das ist das Problem!
aber wenn es doch immer weitere 9en gibt ... es gibt unendlich viele 9en ... dann ist es doch auch im unendlichen nie 1.
Klingt das nicht logisch?

25.02.2005, 12:54

Gast

Auf diesen Beitrag antworten »

Liege ich richtig wenn ich behaupte dass ihr davon ausgeht dass 1/oo = 0 ist?

Das steht unter Wikipedia (Unendlich):

Zitat:

Neben der unendlichen Ausdehnung zu immer größeren Größen wird auch die unendliche Teilbarkeit, das unendlich Feine betrachtet, dessen Grenze Null ist, Null aber nicht erreicht.

25.02.2005, 14:03

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie oben schon gesagt, es gibt immer einen Abstand zwischen jedem meiner Folgenglieder und 1, aber eben keinen zwischen $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} \end{eqnarray*}$ und 1. Das Argument, was du grad gebracht hast, hast du doch schon mehrere Male vorher genannt und wir haben gesagt, dass es falsch ist und Begründungen geliefert, deswegen verstehe ich nicht, warum du immer das gleiche Argument bringst.

Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ich habe nicht behauptet, dass die Bruchschreibweise eindeutig ist, dass sich also jede rationale Zahl durch einen völlig eindeutig bestimmten Bruch darstellen lässt.
Ich habe "nur" behauptet, dass sich jede reelle Zahl durch einen völlig eindeutig bestimmten Dezimalbruch darstellen lässt!! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Eben.
Und genau das Letzte ist falsch. Durch die (natürlich falsche) Analogiebildung bei Brüchen wollte ich dich darauf stoßen. Aber du läßt dich einfach nicht davon abbringen ...

Hmmm, warum soll das falsch sein? Nenn mir mal ein Gegenbeispiel (wahrscheinlich wirst du $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9}=1 \end{eqnarray*}$ nennen, richtig?).
Ich glaub, es läuft darauf hinaus, wie man die Dezimalschreibweise definiert ...

25.02.2005, 16:01

pfnuesel

Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9}\not=1 \end{eqnarray*}$ , wie viel wäre dann $\begin{eqnarray*} 1-0,\overline{9} \end{eqnarray*}$ ? Etwa $\begin{eqnarray*} 0,\overline{0} \end{eqnarray*}$ ?

Auch der griechische Philosoph, Zenon der Ältere, hatte so seine Mühe mit den Grenzwerten:

Zitat:

Die berühmte Paradoxie des Zenon von Elea betrifft den Wettlauf von Achill mit einer Schildkröte. Achill läuft zehnmal so schnell wie die Schildkröte, und doch kann er sie niemals überholen, wenn sie 10 m Vorsprung bekommt. Hat Achill die zehn Meter geschafft, so ist die Schildkröte 1 m weiter, ist Achill diesen Meter gelaufen, so hat die Schildkröte weitere 0,1 m = 10 cm zurückgelegt. Der scheinbare Widersinn besteht in der Addition von beliebig vielen, immer kleiner werdenden Strecken: Würde Achill die Schildkröte einholen, so gäbe es eine endliche Strecke, in der unendlich viele Teile enthalten sind - im antiken Denken paradox. Übrigens: Lässt man Achill 12 m laufen, so hat er die Schildkröte gleich im ersten Anlauf überholt.

(c) Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG, 2001

25.02.2005, 16:08

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Hmmm, warum soll das falsch sein? Nenn mir mal ein Gegenbeispiel (wahrscheinlich wirst du $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9}=1 \end{eqnarray*}$ nennen, richtig?).

Ja, das tue ich: $\begin{eqnarray*} 0,\!\bar{9}=1 \end{eqnarray*}$

Aber nicht nur ich allein tue das. Da gibt es auch noch andere:

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Wie oben schon gesagt, es gibt immer einen Abstand zwischen jedem meiner Folgenglieder und 1, aber eben keinen zwischen $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} \end{eqnarray*}$ und 1.

25.02.2005, 16:39

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Aber nicht nur ich allein tue das. Da gibt es auch noch andere:

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Wie oben schon gesagt, es gibt immer einen Abstand zwischen jedem meiner Folgenglieder und 1, aber eben keinen zwischen $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} \end{eqnarray*}$ und 1.

Ich wusste, dass das kommt. Ich hab ja selbst bemerkt, dass ich mich damit widersprechen würde, aber dann hab ich mir gedacht, dass es schwer ist, das anders auszudrücken. Also hab ich einfach mal die Notation übernommen, sie sollte das nur möglichst einfach darstellen.
Ich bleibe aber dabei und wie ich schon gesagt hatte, kommt es auf die Definition an.
Wenn ich es jetzt so definiere: Sei a eine beliebige reelle Zahl. Dann gibt es genau eine Ziffer $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ aus {0,1,2,...,9} mit

$\begin{eqnarray*} [a]+\frac{z_1}{10}\leq a<[a]+\frac{z_1+1}{10} \end{eqnarray*}$

Dann gibt es auch genau eine Ziffer $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ aus {0,1,2,...,9} mit

$\begin{eqnarray*} [a]+\frac{z_1}{10}+\frac{z_2}{10^2}\leq a<[a]+\frac{z_1}{10}+\frac{z_2+1}{10^2} \end{eqnarray*}$

Das kann man jetzt immer weiter spielen. Somit erhält man mit der Zehnteilungsmethode eine Intervallschachtelung für a und man nennt dann die Ziffern der Folge $\begin{eqnarray*} (z_n) \end{eqnarray*}$ die Dezimalstellen von a und stellt a in der Form $\begin{eqnarray*} a=[a],z_1z_2z_3... \end{eqnarray*}$ dar.

Das fettgedruckte soll die Definition darstellen.

Bliebe noch deine Definition.

25.02.2005, 16:57

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum versuchst du, etwas mit Zwang eindeutig zu machen, wo das gar nicht nötig ist?
Und was ist das für eine Definition? Du unterstellst am Ende deiner Definition, daß es Dezimalbrüche mit der Periode 9 gibt, aber wenn einem denn einmal einer begegnete, dann sei er in Wirklichkeit verboten und in einen abbrechenden Dezimalbruch umzuwandeln.

EDIT
Leider hat MSS seinen Beitrag geändert, so daß meine letzte Bemerkung nicht mehr verständlich ist.

Laß es doch, wie es ist: Jeder abbrechende Dezimalbruch kann auch als Dezimalbruch mit der Periode 9 geschrieben werden: $\begin{eqnarray*} 7,\!398 = 7,\!397\bar{9} \end{eqnarray*}$ .

25.02.2005, 17:01

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, vorher war es eine Zwangsdefinition.
Jetzt habe ich es stark vereinfacht, nachdem mir aufgefallen ist, dass es so geht.

Zitat:

Original von Leopold
Warum versuchst du, etwas mit Zwang eindeutig zu machen, wo das gar nicht nötig ist?

Naja, ich denke einfach, dass Definitionen in der Mathematik eindeutig sein müssen. Siehst du das nicht so?
Definition: e ist diejenige reelle Zahl, für die $\begin{eqnarray*} 2<e<3 \end{eqnarray*}$ gilt! Big Laugh

Big Laugh

25.02.2005, 17:11

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Zahlen sind eindeutig, aber nicht ihre Darstellung:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{e} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{1}{n!} = \operatorname{sup}\left\{ x \in \mathbb{R}^{+} \ \left| \ \int_1^x~\frac{\mathrm{d}t}{t} < 1 \right. \right\} \end{eqnarray*}$

Das sind jetzt nur einmal drei Darstellungen der Eulerschen Zahl. Willst du nur eine zulassen und die anderen verbieten?

25.02.2005, 17:25

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, du hast mich überzeugt böse

böse

Augenzwinkern

Aber du kannst ja trotzdem nur (höchstens) eine der drei Darstellungen als Definition auffassen und musst die anderen beiden daraus schlussfolgern.
Das müsstest du dann bei der Dezimaldarstellung auch so machen. Allerdings seh ich auch selbst, dass das wohl nicht schwer ist (sei $\begin{eqnarray*} z_{n_0}\neq 9 \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} [a],z_1z_2...z_{n_0}\overline{9}=[a]+\frac{z_1}{10}+\frac{z_2}{10^2}+...+\frac{z_{n_0}}{10^{n_0}}+\sum_{k=n_0+1}^\infty~\frac{9}{10^k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =[a]+\frac{z_1}{10}+\frac{z_2}{10^2}+...+\frac{z_{n_0}}{10^{n_0}}+9\cdot \frac{1}{10^{n_0+1}\left(1-\frac{1}{10}\right)}=[a]+\frac{z_1}{10}+\frac{z_2}{10^2}+...+\frac{z_{n_0}+1}{10^{n_0}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =[a],z_1z_2...z_{n_0}+1 \end{eqnarray*}$

...

25.02.2005, 17:37

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

@MSS

Wenn du noch die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} z_{n_0}\neq 9 \end{eqnarray*}$ anfügst (also die Neunerperiode "maximal" auch nach vorn ausgedehnt wird), dann können wir das gelten lassen.

Herrje, da gibt's dann auch noch $\begin{eqnarray*} n_0=0 \end{eqnarray*}$ ... ach, was soll's, jeder weiß, was gemeint ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.02.2005, 17:41

Mathespezialschüler

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Ok, verbessert Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und für $\begin{eqnarray*} n_0=0 \end{eqnarray*}$ kann sichs ja jeder denken, dann ist halt

$\begin{eqnarray*} a=[a],\overline{9} \end{eqnarray*}$

und es wird das gleiche Spielchen gespielt.

25.02.2005, 17:44

Leopold

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Am besten, man beruft sich auf die Axiome der reellen Zahlen und läßt das Rechnen mit Dezimalbrüchen sein. Die brauchen ja sowieso nur die angewandten Mathematiker (z.B. die Statistiker Big Laugh

Big Laugh

) - und die meisten Stellen lassen die dann auch gleich nach undurchschaubaren Regeln weg: $\begin{eqnarray*} \pi = 3,\!14 \end{eqnarray*}$

25.02.2005, 17:56

AD

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@Leopold

$\begin{eqnarray*} 3,\!14 \end{eqnarray*}$ ist doch ein spitzenmäßiger Näherungswert, wenn man an das denkt, was 1897 in Indiana verabschiedet wurde:

http://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl

$\begin{eqnarray*} \pi = 3,\!2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \pi = 4 \end{eqnarray*}$ per Gesetz! (Es gibt sich widersprechende Quellen, welcher von beiden Werten es war.)

P.S.: Übrigens netter Versuch, der Hinweis auf Statistiker - aber ich bin heute viel zu friedlich gestimmt, um zu streiten. smile

smile

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