Induktive Mennge, Beweis

08.08.2007, 12:12

way

Induktive Mennge, Beweis

Hi,

Sei A eine Teilmenge von N, wobei N die natürlichen Zahlen sind.
A ist eine induktive Teilmenge von N.

Jetzt folgt hieraus, dass A=N ist.

Beweis:
Ist n€N beliebig, so gehört n (nach Def.) zu jeder induktiven Teilmenge aus K (K Körper), insbesondere zu A. Usw.

Aber das funktioniert doch nur, wenn A eine induktive Teilmenge von K ist.

Ist es denn immer so, dass wenn man von induktiven Teilmengen spricht, dass das Teilmengen aus K sind?
Und wenn ja, warum?

08.08.2007, 12:30

zeusosc

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Hi,
es gibt ein Satz der sagt, das der Durchschnitt von beliebig vielen induktiven Mengen wieder induktiv ist;
Ist jetzt
$\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N}\supseteq\mathbb{A},\mathbb{N}\subset K \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (K_i)_{i\in I}\subseteq K \end{eqnarray*}$ so folgt mit:
$\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N}:=\bigcap_{i\in I}K_i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow n\in K_i\subset K \end{eqnarray*}$

Zu Deiner Frage:
$\begin{eqnarray*} \text{Da: } A\subseteq\mathbb{N}:=\bigcap_{i\in I}K_i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A\text{ induktiv} \end{eqnarray*}$

ich hoffe ich habe es korrekt gemacht,...
grüüße

08.08.2007, 12:55

way

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Danke zeusosc,

zum Schluss schreibst Du, dass folgt, dass A induktiv ist.
Das folgt nicht, das ist gegeben.
Ansonsten hast Du denke ich meine Fragen nicht beantwortet. Trotzdem danke für die Mühe.
Grüsse.

08.08.2007, 13:05

therisen

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Was hat jetzt plötzlich K hier zu suchen?

Häufig werden die natürlichen Zahlen wie folgt in der Mengenlehre definiert:

$\begin{eqnarray*} \mathbb N := \bigcap_{M \text{ induktiv}} M \end{eqnarray*}$

Daraus folgt die Behauptung unmittelbar. Falls ihr die natürlichen Zahlen anders definiert habt, solltest du uns ein paar Definitionen mitteilen.

Gruß, therisen

08.08.2007, 13:07

way

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DAnke, genau das ist ja mein Problem, weil bei mir bei der Def. das K als Körper vorkommt:

Sei M* das System der induktiven Teilmengen von K. Wir definieren dann N:= Durchschnitt M* und nennen N die Menge der natürlichen Zahlen.

09.08.2007, 10:24

way

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Und jetzt therisen?

09.08.2007, 20:13

therisen

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Also mit dieser Definition kann ich nicht viel anfangen - das K stört mich. Ich komme nächste Woche in die Uni-Bibliothek, da kann ich mir das Buch mal anschauen, wenn du mir den Titel nennst (und ich es nicht vergesse).

09.08.2007, 20:18

way

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Analysis Band 1, von Ehrhard Behrends

15.08.2007, 21:04

Frooke

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So wie ich das verstehe definiert ihr ja gerade IN als Schnitt aller induktiver Mengen. Und K soll wohl IR sein...

Dann wäre das ganze ja trivial:

$\begin{eqnarray*} A \text{ induktiv}\Rightarrow A\supset\mathbb N \end{eqnarray*}$

Nach Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} A\subset\mathbb N \end{eqnarray*}$

damit A=IN.

Soll das eine Übungsaufabe sein?

Und ist die Aufgabenstellung nicht vielmehr so: «Sei A eine Teilmenge von IN, wobei IN die natürlichen Zahlen sind.
A ist induktiv.»???

(Rest wie gehabt)

15.08.2007, 21:08

Airblader

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Ich kann das vllt. auflösen, da ich das Buch habe.

$\begin{eqnarray*} (K,+,\cdot,P) \end{eqnarray*}$ soll einfach ein angeordneter Körper sein (steht direkt über der Definition 1.5.3 induktiver Teimengen auf S. 38)

@Frooke
Eine Aufgabe gibt es nicht. Der Beweis steht wie im 1. Post von ihm zitiert im Buch Augenzwinkern

Es ist wohl nur eine Verständnisfrage.
Edit: Wobei er nur einen Teil zitiert. Der Rest d. Beweises steht natürlich im Buch.

air
(Nochmal Edit: Die Aussage $\begin{eqnarray*} A \subset \mathbb N \Rightarrow A \text{ induktiv.} \end{eqnarray*}$ ist doch falsch. Bsp.: $\begin{eqnarray*} A = \{2\} \end{eqnarray*}$ )

15.08.2007, 21:24

WebFritzi

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Also, way, das ist echt hypertrivial. A ist induktiv. Das bedeutet nach eurer Definition von N, dass N Teilmenge von A ist. Aber A ist nach Voraussetzung auch Teilmenge von N. Also: A = N. Was ist das Problem?

15.08.2007, 21:28

Airblader

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RE: Induktive Mennge, Beweis

Zitat:

Original von way
Aber das funktioniert doch nur, wenn A eine induktive Teilmenge von K ist.

Richtig. Denn für $\begin{eqnarray*} A = \{5\} \end{eqnarray*}$ (als Beispiel) würde wohl kaum $\begin{eqnarray*} A = \mathbb N \end{eqnarray*}$ gelten smile

Zitat:

Original von way
Ist es denn immer so, dass wenn man von induktiven Teilmengen spricht, dass das Teilmengen aus K sind?
Und wenn ja, warum?

"Ja". Aber es muss nicht zwangsweise wirklich mit K zu tun haben. Induktive Teilmengen können auch von |R, |N, ... stammen.

Damit ist wohl hoffentlich das geklärt, was gefragt wurde?

air

15.08.2007, 21:28

Frooke

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Zitat:

Original von Airblader
Die Aussage $\begin{eqnarray*} A \subset \mathbb N \Rightarrow A \text{ induktiv.} \end{eqnarray*}$ ist doch falsch.

Ja, die andere Richtung stimmt, gemeint ist wohl

$\begin{eqnarray*} A \text{ induktiv}\Rightarrow \mathbb N\subset A \end{eqnarray*}$

(Was heisst P bei Dir?)

15.08.2007, 21:29

Airblader

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P ist einfach nur der Positivbereich. smile

(D.h. es soll im Grunde nur die Eigenschaft zeigen, dass K angeordnet ist)

air

16.08.2007, 11:27

way

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Hi Airblaider,

Du sagst, es muss nicht zwangsweise was mit K zu tun haben, ich denke das stimmt nicht.
R und N haben sehr wohl mit K zu tun, nämlich dass es Teilmgen von K sind.
Und so ist auch A hier in dem Beispiel Teilmenge von K, deswegen haut der Beweis auch hin, sonst würde es nicht funktionieren, denke ich.
Ich habe es endlich verstanden.

Danke an alle!

Grüsse.

16.08.2007, 12:24

Airblader

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Nunja, darüber lässt sich streiten.

K ist einfach ganz allgemein ein angeordneter Körper.
Dass |R eine Teilmenge von K ist halte ich für falsch. Wie weit bist du denn schon im Buch? Denn es gibt im Buch insgesamt 5 Schritte zum Axiomensysten für |R.
Und für |R gilt, dass er z.b. archimedisch angeordnet ist und jeder Dedekindsche Schnitt eine Schnittzahl besitzt (Vollständigkeit).

Das (vor allem Vollständigkeit) muss für K nicht gelten (Bedenke: K ist vollkommen beliebig!)

Was ich aber ursprünglich meinte (gehen wir mal davon aus, |N und|R sind vollkommen definiert):

Ich kann z.B. A = {2} betrachten und sagen, es ist Teilmenge von |N. Ich kann aber auch sagen, es ist Teilmenge von |R.
Wenn du nun sagst: "A muss immer Teilmenge von |R sein" kann ich sagen: "Stimmt, aber man muss nicht zwangsweise über A als Teilmenge von |R reden, sondern man kann darüber auch als Teilmenge von |N sprechen". Natürlich ist es dennoch eine Teilmenge von |R, aber das kann einfach unwichtig sein Augenzwinkern

Aber wie gesagt: Sei vorsichtig, was K ist. K ist nicht |N oder |R, sondern ein vollkommen beliebiger angeordneter Körper Augenzwinkern

air

16.08.2007, 12:40

way

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Ok, da hast Du recht. R ist ein Körper, ob es eine Teilmenge von K ist, weiss ich nicht bzw. ob man das überhaupt so formulieren kann. Ist jetzt auch egal (erst mal smile

)
Ich bin auf Seite 45 und plage mich mit den trivialen Beweisen der natürlichen Zahlen rum verwirrt

16.08.2007, 12:46

Airblader

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(|R kann Teilmenge von K sein, aber nur, wenn man K entsprechend wählt).

Ah, nun sehe ich auch, wo du das herhast. Du hinterfragst also garnicht die Aussage, sondern bereits den Beweis (das ist doch gut Augenzwinkern

).
Nun, es ist dort vllt. etwas übervorsichtig ausgedrückt.
Wie gesagt: Betrachte diese induktive Teilmenge, die auf jeden Fall zum Schnitt gehört. Daraus folgt (relativ direkt), dass n>=1 für alle n € |N gilt.

Achja: Was ich bei den Beweisen wirklich ermüdend finde (vor allem bei späteren) ist der ständige Verweis auf Sätze und Definitionen, die man aber nicht einfach mal "kurz nachschlagen" kann, ohne den kompletten Gedankengang zu verlieren.
Da ich aber momentan eine Zusammenfassung aller Definitionen und Beweise des Buches mache (also alles gesammelt notieren) kann ich die Beweise demnächst nochmal richtig durchgehen Big Laugh

Die Sammlung kannst du natürlich auch haben, falls du magst.

air

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