schrödinger gleichung des 3dim harmonischen oszillators

08.08.2007, 17:30

fringe

schrödinger gleichung des 3dim harmonischen oszillators

hallo leute!

war schon öfters hier als besucher, jetzt kommt mein erstes anliegen als mitglied, da ich bei einem analysis projekt etwas überfordert bin. kann mir jemand tipps zum beispiel im anhang geben oder kennt es jemand vielleicht?

CEERS!

08.08.2007, 18:46

WebFritzi

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Was ist (1)?

08.08.2007, 22:02

tensor07

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Hey fringe

Separation der Variablen heisst
$\begin{eqnarray*} \psi (x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z) \end{eqnarray*}$

Laplace anwenden
$\begin{eqnarray*} \left ( \frac{X''(x)}{X(x)} + \frac{Y''(y)}{Y(y)} + \frac{Z''(z)}{Z(z)} \right )\psi + \left ( A-B^2(x^2+y^2+z^2)\right)\psi = 0 \end{eqnarray*}$

Rearrangieren

$\begin{eqnarray*} \frac{X''(x)}{X(x)}+A-B^2x^2=-(\frac{Y''(y)}{Y(y)}-B^2y^2)-(\frac{Z''(z)}{Z(z)}-B^2z^2) \end{eqnarray*}$

Funktionen von x auf einer Seite, Funktionen von y und z auf der anderen, also beide Seiten sind konstant

$\begin{eqnarray*} \frac{X''(x)}{X(x)}+A-B^2x^2=\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -(\frac{Y''(y)}{Y(y)}-B^2y^2)-(\frac{Z''(z)}{Z(z)}-B^2z^2)=\lambda \end{eqnarray*}$

y und z separieren

$\begin{eqnarray*} \frac{Y''(y)}{Y(y)}-B^2y^2=-\lambda-(\frac{Z''(z)}{Z(z)}-B^2z^2) \end{eqnarray*}$

Nochmals beide Seiten konstant

$\begin{eqnarray*} \frac{Y''(y)}{Y(y)}-B^2y^2=\mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\lambda-(\frac{Z''(z)}{Z(z)}-B^2z^2)=\mu \end{eqnarray*}$

Die allgemeine ODE lösen

$\begin{eqnarray*} \frac{F''(t)}{F(t)}+B^2t^2=C \end{eqnarray*}$

und einsetzen, dann hast du Lösungen für $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ . Nur einige (abzählbar viele) Werte von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ sind zulässig. Zeige, dass diese genügen, um alle Lösungen durch Superposition zu bilden. Normalerweise macht man dies in sphärische Koordinaten, wegen der Symmetrie der Lösungen.

Gruss

09.08.2007, 08:22

fringe

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Super, vielen Dank! Werde versuchen damit weiterzuarbeiten!

09.08.2007, 08:24

Dual Space

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Zitat:

Original von WebFritzi
Was ist (1)?

Damit meint Webfritzi nicht 1. und 2. sonder (1) aus "Separieren Sie (1)...".

09.08.2007, 08:24

fringe