Untersuchung auf Vorzeichenwechsel

08.08.2007, 23:05

Untersuchung auf Vorzeichenwechsel

Hallo,

bei der Untersuchung auf Vorzeichenwechsel gibt es die Methode der "Vielfachheit". Kann mir jemand schlüssig erklären, wie das geht?

Friedvolle Grüße

08.08.2007, 23:14

tigerbine

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RE: Untersuchung auf Vorzeichenwechsel
Was untersuchst Du denn genau auf VZW? Augenzwinkern

Polynomfuntkionen?

09.08.2007, 03:38

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RE: Untersuchung auf Vorzeichenwechsel
Hallo,

gebrochen rationale Funktionen / Polstellen.

Bisher habe ich immer die Nachbarwerte untersucht.

Aber diese Methode scheint aufwändiger zu sein wie über die der "Vielfachheit".

Hat das was mit dem Grad der Exponenten zu tun?

Friedvolle Grüße

09.08.2007, 10:46

tigerbine

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RE: Untersuchung auf Vorzeichenwechsel
Du musst dich klarer ausdrücken, von Welchen Exponenten Du sprichst.

Des Weiteren, für welchen VZW Du Dich interessierst. Nullstelle , Polstelle?

http://de.wikipedia.org/wiki/Kurvendisku...ionale_Funktion

11.08.2007, 05:28

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RE: Untersuchung auf Vorzeichenwechsel
Hallo,

folgende gebrochen rationale Funktion:

x^2-2x-8
f(x)= -----------
2x-2

Bei x=1 ist eine Polstelle.

Hier liegt ein VZW vor (ermittelt durch die Nachbarwerte x=0.9 und x=1,1)

In diesem Zusammenhang gibt es auch die Methode der "Vielfachheit".
Also einen alternativer Weg zur Feststellung eines möglichen VZW.

Hierbei setze man bei den Exponenten an, wie man mir einst in der Schule sagte. Wenn ja, wie das?

Dank im Vorraus.

11.08.2007, 05:30

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PS: Habe die Funktion unübersichtlich dargestellt. Oberer und unterer Term ziehen sich drei Tabellaturtasten nach rechts.

11.08.2007, 11:19

Leopold

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Zur Vielfachheit von Nullstellen.

Zunächst einmal bei ganzrationalen Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Dort nennt man $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle "der Vielfachheit $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ " (auch: "von der Ordnung $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ " oder einfach " $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -fache Nullstelle"), wenn sich der Linearfaktor $\begin{eqnarray*} x - a \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -mal, $\begin{eqnarray*} k \geq 1 \end{eqnarray*}$ ganz, abspalten läßt, wenn also ein Polynom $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ existiert mit

$\begin{eqnarray*} f(x) = (x - a)^k p(x) \ \ \text{und} \ \ p(a) \neq 0 \end{eqnarray*}$

Äquivalent damit ist, daß alle Ableitungen bis zur Ordnung $\begin{eqnarray*} k - 1 \end{eqnarray*}$ verschwinden, die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te Ableitung aber nicht mehr:

$\begin{eqnarray*} f(a) = 0 \, , \ \ f'(a) = 0 \, , \ \ f''(a) = 0 \, , \ \ \ldots \, , \ \ f^{(k-1)}(a) = 0 \, , \ \ f^{(k)}(a) \neq 0 \end{eqnarray*}$

(Diese Äquivalenz zeigt man am besten durch Induktion mit Hilfe der Produktregel.)

Die zweite Charakterisierung, also die mit den Ableitungen, kann man verwenden, um den Begriff " $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -fache Nullstelle" auf nicht-ganzrationale Funktionen mit genügend hohen Differenzierbarkeitsanforderungen zu übertragen. (Für sogenannte analytische oder holomorphe Funktionen - das sind solche, die um jede Stelle des Definitionsbereichs eine Potenzreihenentwicklung gestatten - kann man auch die erste Charakterisierung verallgemeinern.)

Beispiel 1

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^5 - 6 x^4 + 13 x^3 - 14 x^2 + 12x - 8 \end{eqnarray*}$

Man stellt fest, daß $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle ist. Man kann daher den Linearfaktor $\begin{eqnarray*} x - 2 \end{eqnarray*}$ abspalten (Polynomdivision). Das tut man so oft, bis es nicht mehr geht. Man findet:

$\begin{eqnarray*} f(x) = (x - 2)^3 \cdot (x^2 + 1) \end{eqnarray*}$

Und mit den Ableitungen geht es so:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^5 - 6 x^4 + 13 x^3 - 14 x^2 + 12x - 8 \, ; \ \ f(2) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 5 x^4 - 24 x^3 + 39 x^2 - 28x + 12 \, ; \ \ f'(2) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) = 20 x^3 - 72 x^2 + 78x - 28 \, ; \ \ f''(2) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x) = 60 x^2 - 144x + 78 \, ; \ \ f'''(2) = 30 \neq 0 \end{eqnarray*}$

Man erhält beide Male dasselbe Ergebnis: $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ist eine $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ -fache Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Beispiel 2

$\begin{eqnarray*} g(x) = 1 + \cos{x} \end{eqnarray*}$ hat die Nullstelle $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ . Mit Hilfe der Ableitungen berechnen wir ihre Ordnung:

$\begin{eqnarray*} g(x) = 1 + \cos{x} \, ; \ \ g(\pi) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(x) = - \sin{x} \, ; \ \ g'(\pi) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g''(x) = - \cos{x} \, ; \ \ g''(\pi) = 1 \neq 0 \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ der Ordnung $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ .

Was aber sagt nun die Ordnung einer Nullstelle über den Verlauf der Funktion aus? Man kann es vereinfacht so sagen: Hat $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle der Ordnung $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , so läuft der Graph von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in unmittelbarer Umgebung von $\begin{eqnarray*} x = a \end{eqnarray*}$ so durch die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse wie der Graph von $\begin{eqnarray*} p(x) = x^k \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} p(x) = - x^k \end{eqnarray*}$ durch den Ursprung verläuft. Ist also insbesondere $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gerade, so hat $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ keinen Vorzeichenwechsel, ist dagegen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ungerade, so hat $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ einen Vorzeichenwechsel.

Der Graph von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ aus Beispiel 1 läuft also bei $\begin{eqnarray*} x = 2 \end{eqnarray*}$ so durch die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse wie der von $\begin{eqnarray*} p(x) = x^3 \end{eqnarray*}$ durch den Ursprung verläuft, also mit Vorzeichenwechsel und Sattelpunkt. Dagegen liefert $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ aus Beispiel 2 in der Nähe von $\begin{eqnarray*} x = \pi \end{eqnarray*}$ ein Bild wie $\begin{eqnarray*} p(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ nahe $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ (Tiefpunkt). Den Graphen von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ aus Beispiel 2 kann man sich ja leicht vorstellen: Verschieben des gewöhnlichen Cosinus-Graphen um 1 nach oben.

Frage an dich: Was für eine Vielfachheit hat die Nullstelle $\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$ des Nennerpolynoms bei $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2 - 2x - 8}{2x - 2} \end{eqnarray*}$ ?

11.08.2007, 13:59

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Hallo Leopold,

für diese ausführliche Darlegung vielen Dank!

Friedvolle Grüße

Tom

11.08.2007, 15:07

WebFritzi

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Zitat:

Original von Tom Petervari
Und nicht ohne Anflug zusätzlicher Motivation habe ich die unten angestellte Frage notiert.

Hö? Wo?

11.08.2007, 15:14

tigerbine

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Zitat:

Leopold

Frage an dich: Was für eine Vielfachheit hat die Nullstelle $\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$ des Nennerpolynoms bei $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2 - 2x - 8}{2x - 2} \end{eqnarray*}$ ?

Da.

11.08.2007, 15:15

Leopold

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Ob du es glaubst oder nicht, WebFritzi! Man kann sich tatsächlich auch etwas mit Papier und Bleistift notieren. Oder es sich womöglich hinter die Ohren schreiben ...

11.08.2007, 15:59

WebFritzi

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Ach, jetzt raff ich's erst. Naja... Schläfer

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