Grundmodell der Wahrscheinlichkeitsrechnung... |
| 24.02.2005, 18:56 | Eisloeffel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Grundmodell der Wahrscheinlichkeitsrechnung...
Also hier die Aufgabe: Ein Student istvon der Wahrscheinlichkeitsrechnung so begeistert, dass er beschließt, seine Samstagsbeschäftigung (Disko oder Buch lesen oder Kunobesuch) jeweils am Vortage durch Würfeln festzulegen. Für einen "echten" Würfel legt er fest: Disko, falls die Augenzahl nicht größer 4; Buch lesen, falls die Augenzahl 5; Kino, falls Augenzahl 6 ist. Um sich eine Vorstellung über das erwartende ERgebnis zu verschaffen, teilt er das Jahr in 13 Perioden zu je 4 Wochen ein und interessiert sich für die Wahrscheinlichkeiten folgender Ergebnisse bezüglich einer solchen Periode: (a) wenigstens 1mal Buch lesen (b) 2mal Kinobesuch (c) 4mal Kinobesuch (d) kein Disko (e) alle drei Beschäftigungen treten wenigstens 1mal auf. Man berechne diese Wahrscheinlichkeiten sowie (f) die zu erwartende ANzahl von Perioden eines Jahres, in denen er mindestens 3mal zur Disko geht. Ich habe logischerweise mich damit beschäftigt und bin fast verzweifelt. die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ereignisse (Buch,Disko, Kino) sind: P(B) = 1/6 P(D) = 2/3 P(K) = 1/6 und für (a) gehe ich bei der Berechnung von p = 1 - P(A<1) für (b) p = P(B=2) für (c) p = P(C=4) für (d) p = P(D=0) aus. Bei (e) habe ich den Kopf verloren und bei (f) habe ich keine Ahnung wie ich das anstellen soll. (a) bis (d) habe ich mit Hilfe eines Baumdiagrammes berechnet, was äußerst aufwendig ist und in einer Klausur nicht wirklich zu empfehlen. Nun meine alles brilliante Frage. Geht es auch einfacher zu berechnen? Ich kann mir nicht vorstellen, dass dies der einzige Weg ist. Und wenn es wirklich einen einfacheren Weg gibt, könnt ihr mir das bitte plausibel erklären, ich bin etwas bescheuert, was Wahrscheinlichkeitsberechnung anbelangt 
.Danke schon mal im Vorraus 
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| 24.02.2005, 19:24 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okay, jans wunsch ist mir befehl....
ich beziehe mich auch mal auf:
also gehen wir das mal der reihe nach durch... erst mal a) bis d), über den rest muss ich grad erst mal selbst nachdenken (gute übung!) a) gegenwahrscheinlichkeit berechnen und dann von 1 abziehen. klar, kein problem, keine große rechnung, oder? (edit: dann wie c) und d)) da braucht man auch keinen baum...!? c) sollte auch kein großes problem sein.... Produktexperiment mit 4 experimenten, wobei du P(K,K,K,K) berechnen musst. kein baum nötig, was gilt bei einem solchen produktexperiment? tipp: der zweite wurf ist vom ersten völlig unabhängig. b) binomialverteilt, P(K)=1/6, P(nicht K)=5/6 also formel für die binomialveteilung rauskramen... d) ist ähnlich c) |
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| 24.02.2005, 19:28 | kurellajunior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, dann ich zu e) Stell Dir folgendes vor: 1.WE=D, 2.WE=B, 3.WE=K, 4.WE=egal=1 Und jetzt die veschiedene Anordnungen von vier Dingen auf vier WE... Na? klar. und f) ist klar P(D>=3) und das bei 13 Perioden... als Erwartungswert? Tip: Erwartungswerte werden addiert... So, das sollte reichen, oder? Wenn nicht, mach Deine Anfänge hier rein, und dann sehen wir weiter... |
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| 24.02.2005, 19:31 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
jo, f) ist inzwischen auch klar. muss man ja nur die aufgabenstellung lesen. braucht man da wirklich erwartungswert? sei A das gesuchte Ereignis mit 3* Disko. kann man da nicht einfach 13*P(A) rechnen? |
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| 24.02.2005, 19:31 | Eisloeffel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja die Gegenwahrscheinlichkeit habe ich errechnet. Aber selbst da ist die Rechnung ziemlich lang. Kann ich denn eigentlich auch (a) anhand der Binomialverteilung berechnen? |
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| 24.02.2005, 19:34 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wozu? sei B' nicht lesen, also bei einem wurf: P(B')=...? gesucht ist P(B',B',B',B') bei 4 würfen, wozu so kompliziert? |
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| 24.02.2005, 19:35 | kurellajunior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das nennt sich Erwartungswert... Der Erwartungswert bei genau einer Wiederholung ist gleich der Wahrscheinlichkeit... Arthur haut mich für meine unmathematische Fromulierung bestimmt, aber ich hab die Formeln halt nicht im Kopf und so merkt es sich leichter... Jan |
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| 24.02.2005, 19:38 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
erwartungswert ohne zufallsvariable ist glaube ich eher mager, oder? ich schätze mal die hast du dir als zählvariable gedacht, oder?
edit: könnte man bei e) nicht mit der formel von sieb-sylvester (oder wie die heißt) arbeiten? schöne übung, ich rechne mal! edit2: neeeee |
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| 24.02.2005, 19:43 | kurellajunior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bitte was?Und wer ist sieb-sylvester? Wie du siehst habe ich Wahrscheinlichkeitsrechnung "nur" logisch begriffen. Die ganze Begrifflichkeit ist mir entgangen. So weiß ich zB. nicht, welche der vielen Formeln sich hinter "binominalverteilung" verbirgt. ch hab auf meinem Laptop eine Übersichtstabelle (1 A4 Blatt), da ist alles drauf, sozusagen ausgelagertes Wissen. @Eislöffel: Die Rechnung zur Gegenwahrscheinlichkeit sollte sehr kurz sein! Schließlich muss jedes der 4 WE der Bedingung "kein Buch" genügen! Wie hoch ist denn und wie sieht das dann für 4 WE aus? Jan |
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| 24.02.2005, 19:49 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
du findest meine email in der mitgliederliste 
das wäre liiiieb! ich bezog mich auf die siebformel von poincare-sylvester (skript nachgeschaut....) edit: und brauchen kann man die hier gar nicht.... hatte mich verdacht
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| 24.02.2005, 19:52 | kurellajunior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, ich denke ich werde die hier irgendwo zur Verfügung stellen, die ist nämlich wirklich gut... Hab ich aus der Vorlesung mitgeschrieben und mit Word! und Mathtype 5 gebastelt. Werde sie also aus Rechtswegen nochmal mit LaTeX basteln und dann hier zur Verfügung stellen. Jan |
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| 24.02.2005, 19:56 | Eisloeffel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also die Gegenwahrscheinlichkeit bei a habe ich (625/1296) raus für alle 4 Wochen. Wie die Einzelwahrscheinlichkeit P(B') habe ich mal wieder keine Ahnung 
(ich glaub ich bin zu blöd für sowas).(e) rechne ich gleich nach aber (f) verwirrt mich. Ich habe für den Erwartungswert die Formel: für n wäre es dann 13 oder? und für p dann 2/3? Aber wenn ich so rechne komme ich nicht auf das Ergebnis.
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| 24.02.2005, 19:59 | kurellajunior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also erstmal, Deine Sig ist zu groß! 2. oder? Dann ist und das WE mal WE mal WE mal WE kommt das von dir angegebene Ergebnis raus. Wie oben erwähnt habe ich es nicht mit Formeln aus dem Kopf! daher verstehe ich Deine Formel gleich mal gar nicht. Du kannst aber die Wahrscheinlichkeit für min 3 mal Kino / Periode berechnen. Damit kriegst du den Erwartungswert für min 3 mal Kino für eine Periode. Naja und je mehr. Bei zwei Perioden ist der Erwartungswert dann auch schon doppelt so groß. Denn nur und wirklich nur beim Erwartungswert können in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Zahlen über 1 rauskommen
Jan |
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| 24.02.2005, 20:02 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@jan: zu e)
die ereignisse sind ja disjunkt, da bringt ja die siebformel gar nichts.... genauer: man braucht sie nicht.....sehe ich das jetzt richtig: 3* multinomialverteilungsansatz und dann einfach die wahrsheinlichkeiten addieren? |
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| 24.02.2005, 20:04 | kurellajunior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Arrgl, bitte was? Ich hab doch oben den Ansatz geschrieben. Moment ich denke nach, ob die beiden Sachen Deckungsgleich sind. Wieso denn multinominal? Du hast 4 voneinander verschieden Ereignisse, die auf vier WE verteilt werden müssen. Jede dieser Kombinationen hat die gleiche Wahrscheinlichkeit. Also P(genau eine Kombi)*Anzahl der Kombi = P(e) Alles klar? Jan |
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| 24.02.2005, 20:07 | Eisloeffel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also du kommst schon auf das gleiche Ergebnis, aber ich steige nicht dahinter warum ist und nicht DEnn entweder ich lese ein Buch oder nicht. Oder sehe ich grade was falsch? |
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| 24.02.2005, 20:10 | kurellajunior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
mmh, du hast doch oben geschrieben, dass P(B)=1/6, weil kommt ja nur bei einem Wurf einer Zahl von 6? Und wegen entweder lese ich ein Buch oder nicht muss sein. Soweit klar? |
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| 24.02.2005, 20:10 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
du wirfst einen würfel und nur wenn eine bestimmte zahl fällt, liest du ein buch. P(einer bestimmten zahl)=1/6 @jan: ja, dein ansatz oben war mir persönlich nicht ganz einsichtig, weil es da ja auch überschneideungen geben kann. mein multinomialansatz verrät mir P=1/6 mit verrechnugsgarantie
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| 24.02.2005, 20:16 | kurellajunior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tja, sorry, bei e kommt leider raus... Und bei meinem Ansatz gibts nix Überschneidungen! Jan Edit: schwerer Rechenfehler! es sind nur 4/9 |
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| 24.02.2005, 20:20 | Eisloeffel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ACHSO ja nun.... @(a) Ich habs rausbekommen Teil (f). Also ich habe die Wahrscheinlichkeit von P(D=3) und P(D=4) addiert und das ganze mal 13 genommen. Ich habe 7,7 raus 
(mein Lösungsheftchen sagt das auch) |
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| 24.02.2005, 20:21 | kurellajunior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau richtig |
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| 24.02.2005, 20:25 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
?! also irgendwie wirds mir grad zu hoch ?! ich unterteile mein ereignis jedes mindestens einmal in 3 disjunkte teilereignisse: A = 2*buch, 1*kino, 1*disco B = 1*buch, 2* kino, 1*disco C = 1*buch, 1* kino, 2*disco das ganze unterliegt doch dann eindeutig einer multinomialverteilung! damit berechne ich: (oh da ist schon mal ein rechen/schreibfehler grad gesehen) P(A)=1/27 P(B)=P(A)=1/27 P(C)=4/27 summe dnn 6/27=2/9 ohje ich suche ja schon weiter fehler.... |
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| 24.02.2005, 20:25 | Eisloeffel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nö es kommt 0,22222222.... raus |
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| 24.02.2005, 20:26 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
0,22222... = 2/9 steht das so in der lösung? wenn ja, dann *freu* |
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| 24.02.2005, 20:30 | Eisloeffel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja steht genau so drin |
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| 24.02.2005, 20:36 | Eisloeffel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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| 24.02.2005, 20:39 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
du kannst editieren, eislöffel, und damit doppelposts vemeiden! also vielleicht gehts auch viel einfacher...... sagt dir denn multinomialverteilung etwas? und allein, dass die wahrscheinlichkeit für ereignis C höher als die für ereignis B sein muss, ist doch klar, oder? |
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| 24.02.2005, 20:43 | Eisloeffel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Öhm nö, sagt mir nix.
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| 24.02.2005, 20:47 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
dann schau entweder mal in dein skript, ob da was zu steht, oder wir warten, bis kurellajunior wieder da ist und uns seine variante überarbeitet präsentiert...... weil mir fällts grad nur mit multinomialverteilung ein... wie gesagt, es läuft auf gesuchte wahrscheinlichkeit=P(A)+P(B)+P(C) raus... und dies einzelwahrscheinlichkeiten berechnet man eben mit multipnomialverteilung, aber vielleicht geht das dann auch anders.... |
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| 24.02.2005, 20:50 | Eisloeffel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich berechne das grad mal wieder mit nem Baumdiagramm.
Edit: Habs auch raus....
Aber danke nochmal... auch wenn ich für diese mathematische Richtung wohl zu doof bin 
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| 24.02.2005, 21:36 | kurellajunior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Arrgl, ja sorry, hab vergessen, zu berechnen, dass Bei meiner Variante ja immer zwei gleich sind. Also meine Sache durch 2! uups. Also 2/9 ist richtig. Mein Ansatz wenigstens klar?, der ist kürzer: Meint: Buch-Kino-Disko-Egal, á aller Anordnungen jajaja multinominal mit Sorry hab echt die Häufung mit 2 vergessen, ja multinominal aber kannst gleich alles zusammenfassen zu: |
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| 24.02.2005, 21:57 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@jan: ja das kann man in einer rechnung zusammen fassen, klar.... wird ja alles mal 12 genommen (4 über 2,1,1)... das hatte ich auch zuerst gemacht, dabei aber (4 über 2,2,1) geschrieben und noch falsch gekürzt (auaaua!). deswegen am ende dann ausführlich..... da kommt dann wenigstens (manchmal) das richtige ergebnis raus! @eislöffel: prima, dass du das jetzt auch hast ach ja und deine signatur ist echt etwas nervig...... geht das kleiner?! mfg jochen |
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| 26.02.2005, 16:33 | kurellajunior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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an Eislöffel, liest sich mit kleiner Sig gleich besser
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