Volumen und Eckpunkte eines Würfels

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BMT-Sebastian Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen und Eckpunkte eines Würfels
Hallo, trotz Vektoren bleibe ich in der Schulmathematik:

Ich habe 3 Eckpunkte eines Würfels gegeben:

O=(0,0,0), A=(6,7,6), B=(2,6,-9)

Von diesem Würfel soll ich das Volumen bestimmen und den Eckpunkt C angeben.

Das Berechnen des Volumens gestaltet sich ja als einfach, indem ich die Verbindungsvektoren OA und OB berechnet habe und deren Betrag mir jeweils die Länge 11 erbracht hat.

Da ein Würfel ja immer gleiche Seitenlängen hat, wäre das Volumen dann ja 11³ = 1331.

Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich auf diesen Eckpunkt C kommen könnte?!


EDIT: PUNKT A KORRIGIERT Big Laugh
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen und Eckpunkte eines Würfels
Vektoren lernt man auch schon in der Schule kennen.

Mal dir mal eine Skizze zu der Aufgabe. Ein Vektor enthält mehr Informationen als nur seine Länge.

C dürfte nach üblicher Nummerierung auch noch ein Eckpunkt des "Würfelbodens" sein.

Welchen Winkel bilden denn die Vektoren OA und AB?
 
 
BMT-Sebastian Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, habe mir schon eine Skizze gemacht. Also mein "C" zeigt praktisch nach hinten weg.

A0 und B0 haben einen Winkel von 90°
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

du hast 3 informationen:

AC ist orthogonal zu einem dir bekannten vektor
BC ist orthogonal zu einem weiteren dir bekannten vektor.

AC und BC haben die länge 11.

mit den ersten 2 informationen bestimmst du die richtung des vektors.
mit der 3ten seine länge und damit seine endgültigen koordinaten.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Dann sieht das grob so aus. Nun Bilde mal eine Vektorkette.

Wie kann man von O loslaufen, um nach C zu kommen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

OACB ist aber ne komische reihenfolge das zu benennen verwirrt
ah ok, da OA und OB die länge 11 haben, muss es aber wohl so benannt sein smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BMT-Sebastian
O=(0,0,0), A=(7,6,7), B=(2,6,-9)





verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
BMT
A0 und B0 haben einen Winkel von 90°


Dann ist das wohl falsch. Ich habe das nicht nachgerechnet.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Auch die behaupteten Längen stimmen nicht, zumindest für . Ich vermute bei eine falsche Angabe des Fragestellers.
BMT-Sebastian Auf diesen Beitrag antworten »

Eine geschlossene Vektorkette wäre in diesem Fall doch zum Beispiel:

riwe Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du deinen punkt A prüfen, der stimmt so nicht Big Laugh

dürfte eher A(6/7/6) heißen verwirrt
BMT-Sebastian Auf diesen Beitrag antworten »

OH OH böser Tippfehler !!!!

Danke Leopold!

A = (6, 7 ,6) !!!!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

naja, dann sind wir uns ja einig

könnte zum ziel führen
du kannst ja vektoren dorthin verschieben, wo du sie brauchst. unglücklich
BMT-Sebastian Auf diesen Beitrag antworten »

Oki,

dann wäre ja dem entsprechend mein Vektor:

BMT-Sebastian Auf diesen Beitrag antworten »

Was aber wiederum nicht sein kann, weil dessen länge nicht 11 ergeben wüde. Außerdem verstehe ich nicht wie ich durch Addition von OA und OB auf OC kommen könnte !?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

!!!
BMT-Sebastian Auf diesen Beitrag antworten »

Sry, aber das versteh ich gerade nicht...
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

der vektor OC ist gar keine seite des quadrats/kante des würfels, sondern eine flächendiagonale.

deshalb ist es nicht verwunderlich, dass die länge nicht 11 ist.
BMT-Sebastian Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht habe ich auch ein falsches Bild im Kopf:
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

das ist natürlich die andere möglichkeit.
da wäre ich für das kreuzprodukt usw.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

nehmen wir mal an dein bild sei die richtige interpretation der Ecke C.

dann kannst du c folgendermaßen berechnen (wie ich schon vor ca. 15 posts beschrieben habe -,-):

OC ist orthogonal zu OB und OA. mit dem skalaprodukt kannst du jetzt ein gleichungssystem für die koordinaten von C aufstellen und lösen. dann kennst du die richtung von OC. (das ist das selbe verfahren wie bei der bestimmung eines normalenvektors einer ebene, wenn man die spannvektoren kennt)

OC hat die länge 11, damit kannst du die endgültigen koordinaten berechnen.
BMT-Sebastian Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe jetzt einfach mal folgendes gemacht:



Wodurch ich dann auf diesen Vektor komme:

tmo Auf diesen Beitrag antworten »

sei a = OA, b = OB und c = OC

dann gilt aufgrund der orthogonalität:




wenn du jetzt die koordinatenform des skalaprodukts einsetzt, erhältst du für die erste gleichung:
wobei du a_1/2/3 kennst.

das gleiche machst du noch mit der 2ten gleichung und dann löst du das LGS.

die lösungsmenge ist dann ein vektor der form:


n musst du dann so bestimmen, dass der vektor die länge 11 hat.

so und jetzt bist du dran.

edit: ich sehe gerade, du hast es mit dem kreuzprodukt gemacht. ok. jetzt normierst du den vektor erst und multiplizierst ihn dann mit 11.
BMT-Sebastian Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wodurch ich dann auf diesen Vektor komme:



Diesen kann ich ja dann mit 11 ganz gut kürzen und komme auf:

riwe Auf diesen Beitrag antworten »

und jetzt schmeißt noch die vorne weg, dann hat der vektor die richtige lönge !
und du die koordinaten von C unglücklich

edit: das ist dann eine von 2 möglichkeiten
BMT-Sebastian Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, Firma dank für die Geduld aller, meine nächste Frage kommt bestimmt Wink
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