Skalarprodukt nachweisen

09.08.2007, 16:45

mylittlehelper

Skalarprodukt nachweisen

Ich habe folgendes Problemchen:

Sei $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R}^3. \end{eqnarray*}$ Für alle $\begin{eqnarray*} \alpha\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ bezeichne $\begin{eqnarray*} A_{\alpha}:=aa^T+\alpha I_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_{\alpha}: \mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ die gemäß $\begin{eqnarray*} s_{\alpha}(x,y):=x^T A_{\alpha} y \end{eqnarray*}$ definierte Abbildung. Bestimmen Sie die Menge $\begin{eqnarray*} \mathcal{S} \end{eqnarray*}$ aller $\begin{eqnarray*} \alpha\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} s_{\alpha} \end{eqnarray*}$ ein Skalarprodukt auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist.

Ich nehme an, dass mit $\begin{eqnarray*} I_3 \end{eqnarray*}$ die Einheitsmatrix bezeichnet wird, da ich keinerlei Hinweise auf eine andere Defintion in der Prüfung finden konnte.

Also die Bilinearität lässt sich einfach zeigen, da spielt $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ auch keine Rolle.

Aber schon bei der Symmetrie verließen sie ihn...Zu zeigen ist ja:
$\begin{eqnarray*} s_{\alpha}=x^T A_{\alpha} y \overset{?}{=} y^T A_{\alpha} x \end{eqnarray*}$

Auch beim Nachweis der positiven Definitheit sehe ich nicht so recht durch. Zum einen muss ja $\begin{eqnarray*} s_{\alpha}(x,x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ (evtl. sogar echt größer Null !?) und zum anderen muss gelten $\begin{eqnarray*} s_{\alpha}(x,x)=0 \Leftrightarrow x=0 \end{eqnarray*}$ .

Setzt man die Definition ein, so komme ich zumindest darauf, dass $\begin{eqnarray*} A_{\alpha}=aa^T+\alpha I_3\neq 0 \end{eqnarray*}$ sein muss.

Vielen Dank schon vorab fürs Durchlesen und Durchdenken.

09.08.2007, 16:54

tigerbine

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RE: Skalarprodukt nachweisen
Stichwort: Dyade. Da nur 3x3 geht es auch brutal über nachrechnen. Die Einheitsmatrix ist wohl offensichtlich symmetrisch.

http://de.wikipedia.org/wiki/Dyadisches_Produkt

09.08.2007, 16:55

therisen

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Hallo,

eine kurze Rechnung liefert

$\begin{eqnarray*} A_{\alpha} = \begin{pmatrix}a_1^2+\alpha & a_1a_2 & a_1a_3 \\ a_1a_2 & a_2^2+\alpha & a_2a_3 \\ a_1a_3 & a_2a_3 & a_3^2+\alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die entstandene Matrix ist symmetrisch für alle $\begin{eqnarray*} \alpha\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ - das zeigt die Symmetrie von $\begin{eqnarray*} s_{\alpha} \end{eqnarray*}$ .

Der Rest geht analog.

Gruß, therisen

09.08.2007, 17:09

mylittlehelper

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Warum bin ich nicht drauf gekommen, dass man $\begin{eqnarray*} A_{\alpha} \end{eqnarray*}$ einfach mal ausrechnet unglücklich

. Wenn ich euch nicht hätte Freude

!

Ok, mit $\begin{eqnarray*} A_{\alpha} \end{eqnarray*}$ symmetrisch gilt $\begin{eqnarray*} A_{\alpha}^T=A_{\alpha} \end{eqnarray*}$ . Und damit

$\begin{eqnarray*} s_{\alpha}(x,y)=x^T A_{\alpha} y = y^T A_{\alpha}^T (x^T)^T=y^T A_{\alpha} x = s_{\alpha}(y,x) \end{eqnarray*}$ .

Auch das scheint unabhängig von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ zu funktionieren.

Aber bei der Definitheit und der "Eindeutigkeit der Null" bin ich trotz der "offensichtlichen Analogie" auf nichts brauchbares gekommen.

EDIT sagt:

Ich bin mir mit der obigen Gleichung gar nicht mehr so sicher, vielmehr scheint mir dies plausibel:

$\begin{eqnarray*} s_{\alpha}(x,y)=x^T A_{\alpha} y = (y^T A_{\alpha}^T (x^T)^T)^T=(y^T A_{\alpha} x)^T \overset{?}{=} (s_{\alpha}(y,x))^T \end{eqnarray*}$

Oh mann, ich bin echt ne Pfeife Hammer

09.08.2007, 17:17

tigerbine

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Da es hier noch 3x3 ist, bleibt im Notfall immer noch die "Brutallösung":

Eigenwerte bestimmen. A ist symmetrisch, daher hat sie nur reelle Eigenwerte. Vielleicht kann man dann eine Nullstelle des char. Polynoms sogar erraten, ansonsten bleiben immer noch die Formeln von Cardano.

Aus der positiven Definitheit folgt die Regularität.

09.08.2007, 17:21

mylittlehelper

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Zitat:

Original von tigerbine
Vielleicht kann man dann eine Nullstelle des char. Polynoms sogar erraten, ansonsten bleiben immer noch die Formeln von Cardano.

Die man auch immer parat im Kopf hat Augenzwinkern

. Es handelt sich hier um Prüfungsaufgaben, die also ohne Hilfsmittel (Ok, einfacher Taschenrechner und ne Formelsammlung in der nix zu Linearer Algebra drinsteht) innerhalb von einer Stunde zu lösen sind. Es ist zwar die schwerste Aufgabe dieser Prüfung aber länger als 20min sollte die auch nicht dauern.

Gibts nich irgendwas elegantes? Ihr kennt doch immer so "Kniffe".

09.08.2007, 17:49

therisen

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Unsere Numerikbiene hat es aber heute mit dem Wort "brutal" Big Laugh

Zwei Möglichkeiten für die Untersuchung der positiven Definitheit:

1) Das Hurwitz-Kriterium (Hauptminorenkriterium) liefert die 3 Ungleichungen

$\begin{eqnarray*} \alpha+a_1^2>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha(\alpha+a_1^2+a_2^2)>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha^2(\alpha+a_1^2+a_2^2+a_3^2)>0 \end{eqnarray*}$

die erfüllt sein müssen.

2) Über die Eigenwerte. Zufällig ist $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eine zweifache Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Es gilt $\begin{eqnarray*} \chi = (x-\alpha)^2(x-(\alpha+a_1^2+a_2^2+a_3^2)) \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

09.08.2007, 18:05

tigerbine

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OT:

, Hart, aber herzlich Augenzwinkern

@mylittlehelper:

Siehst du, so schlimm wäre die Eigenwertbestimmung gar nicht gewesen. Augenzwinkern

Hast Du aber ein Glück, das therisen das für dich gemacht hat. Du hast dich ja (zu schnell) abschrecken lassen.

Dann sollten wir aber nochmal klären, ob das wirklich für alle $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein Skalarprodukt ist.

09.08.2007, 18:37

mylittlehelper

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Also so wie ich das überblicke muss für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gelten:

$\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$ .

Aber noch eine Frage zu der Symmetrie...kann mir einer von euch diese sauber aufschreiben, ich vertraue meiner Darstellung (siehe oben) nicht so recht.

Das Hurwitz-Kriterium hätte ich eigentlich kennen müssen und dieses hier anwenden. Ich bin einfach (noch) nicht blickig genug Probleme auf bekannte Sachlagen (pos. definite Matrizen) zu transferieren.

@tigerbine:

Trotz das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ doppelte Nullstelle ist muss man entweder Glück haben beim Raten oder die geeignete Faktorisierung muss sich anbieten. Bei mir bezweifle ich beides.

Bloß gut, dass die Prüfung nicht nur aus lineare Algebra besteht.

09.08.2007, 18:58

therisen

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Hallo,

der Weg mit dem Hurwitzkriterium ist weniger Rechenaufwand und liefert das gleiche Ergebnis ( $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$ ).

Gilt $\begin{eqnarray*} A=A^t \end{eqnarray*}$ , dann folgt

$\begin{eqnarray*} \langle x,y\rangle=x^tAy=(x^tAy)^t=y^tA^tx=y^tAx=\langle y,x\rangle \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

09.08.2007, 20:33

mylittlehelper

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Also doch, da das Skalarprodukt eine Zahl ist und daher $\begin{eqnarray*} s_{\alpha}=s_{\alpha}^T \end{eqnarray*}$ jedenfalls in diesem (rellen) Fall.

Supi und danke!

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