Erwartungswert

09.08.2007, 19:02	bluemchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert Hallo zusammen, wir haben in der Vorlesung die Varianz einer hypergeometrisch verteilten Zufallsgrösse berechnen. und dabei verstehe ich einen schritt nicht. Und zwar haben wir eine Schachtel mit r roten und s schwarzen Kugeln. und es werden k Kugeln ohne zurücklegen gezogen. weiter ist $\begin{eqnarray} X = \sum_{i=1}^k~X_i \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} X_i =1 \end{eqnarray}$ , wenn i-te gezogene Kugel rot ist und sonst $\begin{eqnarray} X_i =0 \end{eqnarray}$ Weiter berechnen wir dann $\begin{eqnarray} E(X_i X_j) \end{eqnarray}$ und es sei $\begin{eqnarray} E(X_i X_j)= P(X_i=1,X_j=1) \end{eqnarray}$ . Kann mir vielleicht jemand sagen wieso das so ist? Ich habe mir dazu folgendes überlegt. $\begin{eqnarray} E(X_i Y_j) = 10* P(X_i=1,X_j=0) + 01 P(X_i=0,X_j=1) + 00 P(X_i=0,X_j=0) + 11 P(X_i=1,X_j=1) \end{eqnarray*}$ mit dem würde ich auf das richtige Ergebnis kommen, ich weiss jedoch nicht ob dies stimmt und wenn es stimmt wüsste ich auch nicht wieso ich das machen darf. vielen dank dass ihr euch die mühe gemacht habt das durchzulesen..
09.08.2007, 19:12	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, sieht gut aus. Aber da ich nicht mehr sooo firm bin in solchen Dingen, solltest du lieber noch auf Arthur Dent warten, der dir absolute Gewissheit verschaffen wird.
09.08.2007, 19:32	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@bluemchen Du kennst doch sicher die Erwartungswertformel $\begin{eqnarray} E(Z) = \sum_{z_k} z_k\cdot P(Z=z_k) \end{eqnarray}$ für eine diskrete Zufallsgröße $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ , die die Werte $\begin{eqnarray} z_1,z_2,\ldots \end{eqnarray}$ annimmt. Nichts anderes liegt hier vor für die Zufallsgröße $\begin{eqnarray} Z=X_iX_j \end{eqnarray}$ . Die nimmt offenbar nur die Werte $\begin{eqnarray} z_1=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_2=1 \end{eqnarray}$ an, also ist $\begin{eqnarray} E(X_iX_j) = 0\cdot P(X_iX_j=0) + 1\cdot P(X_iX_j=1) \end{eqnarray}$ Der erste Summand ist Null, und das Ereignis $\begin{eqnarray} X_iX_j=1 \end{eqnarray}$ ist offenbar identisch mit $\begin{eqnarray} X_i=1,X_j=1 \end{eqnarray}$ . ---------------------- Das die Kurzerklärung im speziellen Fall hier. Allgemein kann man für Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} Z=g(X_1,\ldots,X_n) \end{eqnarray}$ mit diskreten $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ und beliebigem Funktional $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ die Formel $\begin{eqnarray} E(g(X_1,\ldots,X_n) = \sum_{x_1} \sum_{x_2} \cdots \sum_{x_n} g(x_1,\ldots,x_n)\cdot P(X_1=x_1,\ldots,X_n=x_n)\quad () \end{eqnarray}$ nachweisen - ist nicht schwer, wenn man sich die "Urbilder" von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ ansieht. In dieser Formel durchlaufen die $\begin{eqnarray} x_1,x_2,\ldots,x_n \end{eqnarray}$ natürlich jeweils den Wertebereich der zugehörigen diskreten Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} X_1,X_2,\ldots,X_n \end{eqnarray}$ . P.S.: Der Erwartungswert in () existiert selbstverständlich nur, wenn die rechts stehende Reihe absolut konvergiert. Ist es "nur" eine Summe, dann gibt es natürlich kein Problem.
09.08.2007, 19:42	bluemchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert wow super, vielen dank für diese ausführliche antwort... schönen abend noch... cu

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