Unstetigkeit ohne Auswahlaxiom

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Soliton Auf diesen Beitrag antworten »
Unstetigkeit ohne Auswahlaxiom
Hallo,


ist es richtig, daß alle linearen Abbildungen, die ohne Benutzung des Auswahlaxioms oder Äquivalentes "konstruiert" werden, stetig sind?

Gilt ferner, daß alle Normen, die ebenso konstruiert werden, äquivalent sind?

Beide Bemerkungen habe ich ohne weitere Angaben in einem Buch entdeckt.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist interessant. Ich weiß es nicht, schätze aber, dass es allgemein kein Mensch weiß.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unstetigkeit ohne Auswahlaxiom
Zitat:
Original von Soliton
Beide Bemerkungen habe ich ohne weitere Angaben in einem Buch entdeckt.

In welchem?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Soliton

Hier kannst du dir das Originaldokument von Georg Hamel (1877-1954) als pdf-Datei herunterladen.
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Was möchte Hamel denn mit der Notation "(+0)" auf Seite 461 ausdrücken? verwirrt
tensor07 Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du "" auf Seite 460?
 
 
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ja. Da hätte ich wohl näher dranzoomen sollen. Danke.
tensor07 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unstetigkeit ohne Auswahlaxiom
Zitat:
Original von Soliton
Hallo,


ist es richtig, daß alle linearen Abbildungen, die ohne Benutzung des Auswahlaxioms oder Äquivalentes "konstruiert" werden, stetig sind?


Im Allgemeinen nicht.

Hamel hat gezeigt, dass das Auswahlaxiom die "Konstruktion" von Basen jedes Vektorraums ermöglicht, insbesondere des -Vektorraums . In einigen Fällen kann man ausserdem -additive Abbildungen konstruieren, die nicht der Form sind.

Eine andere Frage ist die Stetigkeit von linearen Abbildungen zwischen normierten Räumen. Hier heisst

"Stetigkeit" = "Beschränktheit"

und es ist relativ einfach, unbeschränkte Operatoren zu konstruieren, wenn man eine explizite Basis kennt (z.B. mit einer Matrix der Form auf einen Hilbertraum). Ich glaube andererseits, etwas analoges wie oben gilt: es ist wahrscheinlich möglich, additive Selbstabbildungen zu "konstruieren", die nicht durch eine Matrix gegeben werden.

Fragen: Kann man mit Hamel's Satz eine nicht-messbare Teilmenge von konstruieren? Ist der Satz zum Auswahlaxiom äquivalent?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unstetigkeit ohne Auswahlaxiom
Zitat:
Original von tensor07
Zitat:
Original von Soliton
Hallo,


ist es richtig, daß alle linearen Abbildungen, die ohne Benutzung des Auswahlaxioms oder Äquivalentes "konstruiert" werden, stetig sind?


Im Allgemeinen nicht.


Wo ist deine Begründung? Ich habe sie nicht gefunden.


Zitat:
Original von tensor07
Eine andere Frage ist die Stetigkeit von linearen Abbildungen zwischen normierten Räumen. Hier heisst

"Stetigkeit" = "Beschränktheit"

und es ist relativ einfach, unbeschränkte Operatoren zu konstruieren, wenn man eine explizite Basis kennt (z.B. mit einer Matrix der Form auf einen Hilbertraum).


Ja, das wissen wir, denn hier benutzt man das Auswahlaxiom.
Marcyman Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung dürfte doch nicht stetig sein auf gewissen Räumen. Zum Beispiel



wobei die Räume mit der Unendlich-Norm versehen sind. A ist bei 0 (=Nullfunktion) nicht stetig, denn konvergiert glm. gegen 0 aber konvergiert nicht.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Schönes Beispiel, Marcyman. Lasst uns doch im folgenden auf die Fälle

T : X -> Y

(a) X,Y Banachräume

(b) Y = IR oder IC (je nachdem)

beschränken.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Hier kannst du dir das Originaldokument von Georg Hamel (1877-1954) als pdf-Datei herunterladen.


Wenn ich auf das PDF-Bild klicke, öffnet sich zwar ein neues Fenster, aber ich warte und warte, und es passiert nichts...
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »

@DualSpace: Ich reiche die Quelle nach.

@Leopold: Danke, aber meine Frage beantwortet das noch nicht.

@Tensor07: siehe Antwort von WebFritzi. In den von Dir erwähnten Fällen wird das AA gerade benutzt. Ich suche Fälle, in denen es nicht benutzt wird. Und in dem von Leopold angegebenen Paper wird, wenn ich es richtig sehe, das AA indirekt benutzt (weil der Wohlordnungssatz von Zermelo darauf fußt).

@Marcyman: WebFritzi hat meinen Fehler ausgebügelt. Ich frage in der Tat nach unstetigen linearen Abbildungen zwischen Banachräumen, die ohne AA "konstruiert" werden. Das habe ich in meinem Ausgangsposting leider unterschagen. Sorry dafür. Dein Beispiel greift insofern also leider nicht durch.

@WebFritzi: Nichts hinzuzufügen. smile
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unstetigkeit ohne Auswahlaxiom
Zitat:
Original von Dual Space
Zitat:
Original von Soliton
Beide Bemerkungen habe ich ohne weitere Angaben in einem Buch entdeckt.

In welchem?


Manfred Dobrowolski, Angewandte FA, 2006, Seite 23:

Operatoren auf Banachräumen, die ohne AA angegeben werden, sind stetig.
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

http://en.wikipedia.org/wiki/Discontinuous_linear_map

gibt einige weitere Hinweise.

Allgemein scheint das wohl so kompliziert zu sein, daß man es hier nicht im Forum in ein paar Zeilen erläutern kann. Ohne einen wirklichen Experten auf diesem Gebiet zu fragen wirst du wohl nicht weiterkommen.
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Fundstelle, sehr interessant, das genügt mir auch für's erste.

Wie ist eigentlich dieser Sachverhalt nun zu bewerten?

Unstetige lineare Abbildungen auf vollständigen VR scheinen etwas reichlich Obskures zu sein und allemal nichts, was man jemals zu Gesicht bekommen könnte. Wir können also auf solchen Räumen keine unstetigen linearen Abbildungen "angeben", "hinschreiben" usw.

Vielleicht eine dumme Äußerung, aber mir erscheint das fast so, also könnte man sie auch ignorieren. Kann mir denn so eine Funktion, die ich niemals hinschreiben könnte und die ich, selbst wenn sie vor meiner Nase stünde, als solche nicht erkennen könnte, jemals ein ernsthaftes Problem machen? Wäre es sehr vermessen, bei einem Beweis "de facto OE" anzunehmen, daß alle linearen Abbildungen stetig sind - eben weil die, die es nicht sind, ihre Existenz nur im Verborgenen fristen? Reichlich esoterisch, diese Frage, aber ich stelle sie trotzdem. Und frage mich - im Lichte des Vorstehenden - gleichzeitig, welchen "Wert" Existenzbeweise, die auf dem AA beruhen, überhaupt haben. Denn alle Objekte, deren Existenz derart bewiesen wird, sind doch gleichsam ins Schattenreich verbannt. Mir ist bis heute nie klargewesen, wie skurril die Objekte sind, die man mithilfe des AA herbeizerrt.

Übrigens ergibt sich, wenn ich es richtig sehe, aus dem o. g. Satz über die Existenz unstetiger linerarer Abbildungen außerdem, daß es ohne AA auf vollständigen Räumen auch keine zwei Normen gibt, die nicht äquivalent sind. Soll heißen: Alle "angebbaren" Normen sind äquivalent. Dann dürfte doch in allen Situationen, in denen ich mit "angebbaren" Normen arbeite, ich deren Äquivalenz voraussetzen dürfen. Muß man sich über etwas anderes jemals ernsthafte Gedanken machen? (Abgesehen von dem Wissen als solchem?)

Prost
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du denn beweisen, dass man unstetige lineare Abbildungen (oder auch Paare nicht-äquivalenter Normen) nicht explizit angeben kann?
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, daß ein Objekt schwerer zu beschreiben ist, heißt ja nicht, daß es selten sit, und man es einfach ignorieren kann.

Das ist zwar keine wirkliche Analogie, aber nimm doch mal die auf einem Intervall stetigen aber nirgends differenzierbaren Funktionen. Eine davon hinzuschreiben ist schon nicht mehr so einfach, da muß man Reihen bilden, Konvergenzbetrachtungen durchführen usw. Es hat sich erst relativ spät durchgesetzt, diese Objekte überhaupt als Funktionen zu akzeptieren.

Trotzdem hat "fast jede" stetige Funktion diese Eigenschaft (lax gesprochen, und ohne genau zu definieren was "fast" in diesem Zusammenhang bedeuten soll), und man kann sie auch nicht einfach ignorieren, sie treten ja an prominenten und wichtigen Stellen auf, zum Beispiel als Pfad einer Brownschen Bewegung.
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »

@Tomtomtomtom: Schon recht. Ich will mit meinen ketzerischen Einlassungen auch nicht die strenge Axiomatik niedertreten. Ich sehe aber zwischen dem von Dir gegebenen Beispiel und den AA-Beispielen einen fundamentalen Unterschied, und auf den kommt es mir an: Deine Beispiele lassen sich hinschreiben, auch wenn's mühselig ist. D. h. wir können damit explizit hantieren. Also ist klar, daß sie auch Probleme machen können - was immer das nun heißen mag.

Bei den AA-Beispielen soll es nun aber so sein, daß sie nicht hingeschrieben werden können, wir können also nicht damit hantieren. - Vielleicht aber doch - denn in den zuletzt hier besprochenen Beispielen wurden ja nur Teile mit dem AA "konstruiert", während andere explizit angebbar waren. Ach, was soll's.

Ich weiß auch nicht, worauf ich hinauswill. Mir schien nur plötzlich, daß ein Objekt, das seinen Lebenshauch, um es mal blumig wie Jänich auszudrücken, aus dem AA bezieht, so weit weg ist von allem, was einem praktisch-theoretisch begegnen kann, daß es so viel Mühe macht, es überhaupt nur zu erahnen, daß es im Grunde nicht relevant sein kann. Zumal wenn eine Axiomatik ohne AA auch funktioniert und andere Paradoxien vermeidet.

Schwamm drüber.

@Web-Fritzi: Ich denke, ich kann beweisen, daß die Aussage über die linearen Abbildungen die über die Normen nach sich zieht. Den Rest natürlich nicht - aber ich habe die Aussage bei Dobrowolski und in dem Wkipediartikel doch richtig interpretiert? Es klingt jedenfalls, wenn's stimmt, toll - weil man sich dann nie wieder Gedanken machen muß über die Stetigkeit explizit angegebener linearer Abbildungen auf vollständigen Räumen. Oder dann, wenn eine explizit angegebene lineare Abbildung unstetig ist, schon weiß, daß der Raum nicht vollständig sein kann.
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »

Nachtrag: Kommando zurück. Mir ist gerade klargeworden, daß selbst die Ordnung auf den reellen Zahlen "nichtkonstruktiv" ist im o. g. Sinne. Dann ist das Schattenreich also doch nicht so weit entfernt...
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tomtomtomtom
http://en.wikipedia.org/wiki/Discontinuous_linear_map


Ich verstehe einen Teil des Absatzes "A concrete example" nicht.

Dort ist eingangs davon die Rede, daß auf unvollständigen Räumen unstetige lineare Abbildungen leicht konstruiert werden könnten mit Hilfe von C.F., die keinen Grenzwert haben. Ok, klingt plausibel. Das Beispiel allerdings, das dann zur Veranschaulichung gebracht wird - hat damit nichts zu tun! Die dortigen (fn) konvergieren gegen die Nullfunktion, und diese ist doch auch glatt!?

Und was ich auch nicht erkennen kann: "The derivative operator cannot be everywhere-defined on a complete domain." ???

Wenn ich den dort angegebenen Raum der glatten Funktionen auf [0, 1], C^oo, nicht mit der Supremumsnorm, sondern mit der kanonischen Norm versehe, welche einen Unterraum von C^oo vollständig macht, wieso wäre dann der angegebene Diffentialoperator dort nicht überall definiert? Wäre er doch, aber eben dann stetig.

verwirrt
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