Gauß: 3Gleichungen/5 Unbekannte = großes Fragezeichen

11.08.2007, 13:32

Bettie_Page

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Gauß: 3Gleichungen/5 Unbekannte = großes Fragezeichen

Hallo alle miteinander, Wink

Wink

bräuchte mal bitte-bitte Hilfe bei der folgender Aufgabe:

Bestimme unter Verwendung des Gaußschen Eliminationsverfahrens die Lösungen des lineraren GLS:

-x1 -3x2 +4x3 -11x4 +2x5 = 4
-2x1 -6x2 +2x3 -14x4 -8x5 = 6
x1 +3x2 "nix" + 5x4 +6x5 = 0

Nach meinen Eliminationsschritten bekomme ich folgendes (richtig?):

-1 -3 4 -11 2 (=) 4
0 0 4 -11 8 (=) 8
0 0 0 -17 0 (=) 8 ---> unlogisch oder?

google-suche erbrachte folgende Erkenntnis(?): 2Parameter müßten frei wählbar sein. Hmm, na gut aber wie/welche/wann?!

Stutzig macht mich auch das im 1.Eliminationsschritt nicht nur x1 sondern auch x2 0 wird (kenn ich so auch nicht).

Liebe Grüße

11.08.2007, 13:43

tigerbine

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RE: Gauß: 3Gleichungen/5 Unbekannte = großes Fragezeichen
So Willkommen

Willkommen

Versuch dich doch mal an unserem Formeleditor. Das Auge isst mit, auch in der Mathematik.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1&-3&4&-11&2\\-2&-6&2&-14&-8\\1&3&0&5&6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\6\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das bringst Du mit Gauß auf zeilenstufenform. Entweder ensteht dann schon ein Widerspruch, oder es gibt unendlich viele Lösungen.

Die Treppe muss nicht unbedingt "gleichmäßig sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.08.2007, 14:06

Bettie_Page

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RE: Gauß: 3Gleichungen/5 Unbekannte = großes Fragezeichen
oops sorry,

und danke für die erste schnelle antwort.
Leider kann ich Dir hier schon nicht folgen, habe "zeilenstufenform" noch nicht gehört.

ging bevor immer so vor:

umschreiben der Gleichungen ohne x und dann durch multiplikation und addieren von z.B. 2ter Zeile zur 1sten Zeile um Komponenten zu eleminieren

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & -3 & 4 & -11 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & -11 & 8 \\ 0 & 0 & 6 & -8 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wäre dann z.b der erste EL.Schritt nach multiplikation un d addition

...meintest Du das damit?

p.s ok habe es jetz auch endlich mit den Formeleditor geschaft Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.08.2007, 14:13

tigerbine

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RE: Gauß: 3Gleichungen/5 Unbekannte = großes Fragezeichen
die x lassen wir mal schön da Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1&-3&4&-11&2\\-2&-6&2&-14&-8\\1&3&0&5&6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\6\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gauß auf Spalte eins anwenden:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&3&-4&11&-2\\0&0&-6&8&-12\\0&0&4&-6&8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-4\\2\\4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kürzen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&3&-4&11&-2\\0&0&3&-4&6\\0&0&2&-3&4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-4\\-1\\2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nun noch spalte 3 bearbeiten.

11.08.2007, 14:27

Bettie_Page

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hmmm,

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 & 11 & -2 \\ 0 & 0 & 3 & -4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} X... = \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so?

11.08.2007, 15:08

Bettie_Page

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Verwirrung komplett. Warum kürzt du, übernimmt man nicht die 1ste und 2te Zeile und eleminert man danach nicht nur noch die 3te Zeile an Stelle "x3"? oder ist das nur zur rechenerleichterung beim anschließenden multiplizieren?

alles schon so lange her: auch verstehe ich nicht ganz warum die 1ste spalte zunächst mit -1 multipliziert wurde... danach addierst du im ersten Schritt 2te Zeile mit 1ster Zeile usw.,... ok das kann ich nachvollziehen.

muß nun leider auch erstmal weg...setz mich später nochmal ran...hoffe die begriffsstutzigkeit ist nur den schönen wetter geschuldet und erledigt sich nach kurzer pause von selbst...

Mit Zunge

Mit Zunge

erstmal für deine mühe

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11.08.2007, 15:12

WebFritzi

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Zitat:

Original von Bettie_Page
hmmm,

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 & 11 & -2 \\ 0 & 0 & 3 & -4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} X... = \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so?

Ja.

11.08.2007, 15:13

tigerbine

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Die erste habe ich mit (-1) multipliziert, damit wir nachher x1 direkt ablesen können. Diese Normierung kann man auch fortsetzen, doch da hier schon einige Leute mit "Angst vor Brüchen" waren, hab ich darauf verzichtet.

Lass doch zumindest Ax=b in der Gestalt wie ich es geschrieben habe. Also vor allem den Vektor x.

12.08.2007, 14:13

Bettie_Page

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Schönen Sonntag erstmal,
und nochmals...(schlagt mich nicht)...
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & -3 & 4 & -11 & 2 \\ -2 & -6 & 2 & -14 & -8 \\ 1 & 3 & 0 & 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
nach multi. und addition:
1ste Reihe mit -2 und 2te Reihe mit 1 sowie
1ste Reihe mit -1 und 3te Reihe mit -1 ergibt sich bei mir....

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 & 11 & -2 \\ 0 & 0 & -6 & 8 & -12 \\ 0 & 0 & -4 & 6 & -8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nun 2te und 3te Reihe erstmal gekürzt: durch -2 bzw 2, anschließend
2te Reihe multipliziert mit 2 und 3te Reihe mit 3, elemination ergibt...

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 & 11 & -2 \\ 0 & 0 & 3 & -4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

habe ich mich jetzt wieder verrechnet? und wie bitte geht es weiter?
- normalerweise entwickelt man dann doch von "unten" nach "oben", nur wie mache ich das bei 3Gleichungen/5Unbekannten. verwirrt

verwirrt

12.08.2007, 14:19

WebFritzi

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Was sagt dir denn z.B. die dritte Gleichung?

12.08.2007, 14:23

Bettie_Page

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sollte x4 = -4 sein, oder

12.08.2007, 14:27

WebFritzi

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Ja. Nimm jetzt x5 als Parameter (den du z.B. t nennen kannst) und löse die zweite Gleichung nach x3 auf (in Abhängigkeit von t).

12.08.2007, 14:32

Bettie_Page

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meinst du so?

$\begin{eqnarray*} 3\cdot x3+16 + 6t = 1 , \end{eqnarray*}$

12.08.2007, 14:33

Bettie_Page

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man steh ich aufm schlauch

12.08.2007, 14:40

WebFritzi

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Zitat:

Original von Bettie_Page
meinst du so?

$\begin{eqnarray*} 3\cdot x3+16 + 6t = 1 , \end{eqnarray*}$

Ja, genau. Jetzt noch nach x3 auflösen. Dann nimm dir z.B. noch x2 als Parameter (z.B. s) und löse die erste Gleichung nach x1 auf (in Abh. von s und t).

12.08.2007, 14:49

Bettie_Page

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erstmal danke fürs an die hand nehmen.

mal kurz verständnisfrage: x5 und x3, sind jetzt also zunächst freigewählt, wie erkenne ich welche ich Parameter ich wähle, bei x5 leuchtet mir das ja noch irgendwie ein....

12.08.2007, 14:53

tigerbine

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Beachte mal die "Treppengröße" bei x_2, x_3 Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.08.2007, 14:59

WebFritzi

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Es ist meistens egal, welche Variablen du als Parameter wählst. Du kannst z.B. auch x1 und x2 als s und t wählen. Man fängt beim Auflösen nach adem Gauß-Algo nur für gewöhnlich von unten an, aufzulösen. Und da ist eben x5 die erste Variable, die als Parameter genommen werden muss.

12.08.2007, 15:08

Bettie_Page

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...kann es sein das ich den wald vor lauter bäumen nicht sehe?

x3 müsste jetzt -5 sein

und letztendlich läuft die Lösung nann auf soetwas heraus?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

12.08.2007, 15:14

WebFritzi

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Zitat:

Original von Bettie_Page
...kann es sein das ich den wald vor lauter bäumen nicht sehe?

x3 müsste jetzt -5 sein

Wie das denn, wenn x3 von t abhängt??? Du hattest doch schon

3x_3 + 16 + 6t = 1, also

3x_3 = -15 - 6t, also

x_3 = -5 - 2t.

12.08.2007, 15:24

Bettie_Page

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[/quote]
Wie das denn, wenn x3 von t abhängt???
.[/quote]

wie? nun 6Jahre kein Mathe mehr Hammer

Hammer

x_1 = -24 -8t -3s ???

12.08.2007, 15:41

Bettie_Page

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ok, ich probiere es nochmal:

ausgangsgleichung (I):

x_1 + 3s - 4(-5 -2t) - 11(-4) -2t = -4

ergibt:

x_1 = 20 -3s -6t ???? (und bitte nicht schlagen Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

12.08.2007, 16:15

Bettie_Page

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Ergibt das so Sinn....

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \\ x5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 \\ 0 \\ -5 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

...würde, Richtigkeit vorausgenommen, dann also bedeuten das es unendlich viele Lösungen gebe da s,t € R beliebig wählbar ?

p.s. Ja ich weiß das ist ein €urozeichen

Bitte um kurze Bestätigung

12.08.2007, 17:00

WebFritzi

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Beim letzten Vektor ersetze 2 durch -2.

12.08.2007, 17:21

Bettie_Page

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Mit Zunge

danke-danke-danke Mit Zunge

Mit Zunge

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