Existenz der LDL^T-Zerlegung |
11.08.2007, 17:01 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Existenz der LDL^T-Zerlegung wobei D eine Diagonalmatrix und L eine untere normierte Dreiecksmatrix ist. Hauptsächlich wird diese Zerlegung im Rahmen der Herleitung oder Folgerung (ja nach Buch) des Cholesky-Verfahren genannt. Welches auch als Test auf positive Definitheit von A verwendet wird, denn nur dann ist es durchführbar. Nun stellt sich mir die Frage, wann die LDL^T- Zerlegung durchführbar ist. Denn hier wird, im Gegensatz zur Cholesky-Zerlegung, nicht benötigt, dass die Diagonalelemente von D strikt positiv sind. Ein Beispiel für Nichtdurchführbarkeit ist schnell gefunden. Diese Matrix ist indefinit. Als Beispiel für eine negativ definite Matrix betrachte man: Vermutung: LDL^T-Zerlegung existiert für definite Matrizen. Bricht der Algorithmus ab, so ist die Matrix indefinit. Dazu vielleicht einmal die Berechnungsvorschrift:
Danke für Tipps und Hinweise, tigerbine |
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11.08.2007, 18:12 | integralschokolade | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die LDL^T - Zerlegung ist nur dann durchführbahr, wenn die Eigenwerte der Matrix A (das sind mindesens 2) größer als 0 sind! Eigenwerte bestimmt man durch die Gleichung: wobei E die Einheitsmatrix ist. Du erhälst bei einer n x n - Matrix ein Polynom n-ten Grades mit n Nullstellen. Von allen n Nullstellen müssen die lambdas positive Zahlen sein! Dan darfst du LDL^T zerlegen! |
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11.08.2007, 18:18 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ein Blödsinn. Und wenn du tigerbines Posting gelesen hättest, wüsstest du das auch selbst. |
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29.12.2008, 22:39 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Frage ist immer noch aktuell . Weiß jemand was? |
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22.09.2009, 13:27 | awakenings | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mhm, die Frage ist wohl nicht mehr aktuell, aber nachdem ich über google hierauf gestoßen bin, als unangemeldeter user das postingdatum nicht sehen konnte - mich nun extra angemeldet habe um antworten zu können - jetzt jedoch gesehen habe dass es schon nciht mehr aktuell ist - ist mir das nun egal und ich antworte trotzdem!! Zuerst zur Vermutung: Bricht der Cholesky-Algorithmus ab, weiss man zunächst nur, dass die Matrix nicht s.p.d. ist - sie kann immernoch negativ definitit oder semidefinit sein o.ä. In dem Fall lässt sich keine Cholesky-Zerlegung durchführen, auf LDLt kann man aber trotzdem kommen. Und zwar gilt, falls A symmetrisch und regulär ist und eine LR-Zerlegung ohne Spaltenpivotisierung existiert, kann nach vorherige LR-Zerlegung A=LR das R erneut zerlegt werden in R=D*R', wobei R'=L^{T} |
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