Existenz der LDL^T-Zerlegung

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz der LDL^T-Zerlegung
Im Rahmen der Zerlegung von regulären Matrizen in ein Produkt aus unterer und oberer Dreiecksmatrix, stößt man bei symmetrischen Matrizen auf die Zerlegung:



wobei D eine Diagonalmatrix und L eine untere normierte Dreiecksmatrix ist.

Hauptsächlich wird diese Zerlegung im Rahmen der Herleitung oder Folgerung (ja nach Buch) des Cholesky-Verfahren genannt. Welches auch als Test auf positive Definitheit von A verwendet wird, denn nur dann ist es durchführbar.

Nun stellt sich mir die Frage, wann die LDL^T- Zerlegung durchführbar ist. Denn hier wird, im Gegensatz zur Cholesky-Zerlegung, nicht benötigt, dass die Diagonalelemente von D strikt positiv sind.


Ein Beispiel für Nichtdurchführbarkeit ist schnell gefunden.



Diese Matrix ist indefinit.


Als Beispiel für eine negativ definite Matrix betrachte man:




Vermutung:

LDL^T-Zerlegung existiert für definite Matrizen. Bricht der Algorithmus ab, so ist die Matrix indefinit.


Dazu vielleicht einmal die Berechnungsvorschrift:

Zitat:

Daraus ergibt sich dann für K=1,2,...,n:






Danke für Tipps und Hinweise,
tigerbine Wink
integralschokolade Auf diesen Beitrag antworten »

Die LDL^T - Zerlegung ist nur dann durchführbahr, wenn die Eigenwerte der Matrix A (das sind mindesens 2) größer als 0 sind!
Eigenwerte bestimmt man durch die Gleichung:

wobei E die Einheitsmatrix ist. Du erhälst bei einer n x n - Matrix
ein Polynom n-ten Grades mit n Nullstellen. Von allen n Nullstellen
müssen die lambdas positive Zahlen sein! Dan darfst du LDL^T
zerlegen!
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

So ein Blödsinn. Und wenn du tigerbines Posting gelesen hättest, wüsstest du das auch selbst.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist immer noch aktuell Big Laugh . Weiß jemand was?
awakenings Auf diesen Beitrag antworten »

mhm, die Frage ist wohl nicht mehr aktuell, aber nachdem ich über google hierauf gestoßen bin, als unangemeldeter user das postingdatum nicht sehen konnte - mich nun extra angemeldet habe um antworten zu können - jetzt jedoch gesehen habe dass es schon nciht mehr aktuell ist - ist mir das nun egal und ich antworte trotzdem!!

Zuerst zur Vermutung:

Bricht der Cholesky-Algorithmus ab, weiss man zunächst nur, dass die Matrix nicht s.p.d. ist - sie kann immernoch negativ definitit oder semidefinit sein o.ä.

In dem Fall lässt sich keine Cholesky-Zerlegung durchführen, auf LDLt kann man aber trotzdem kommen.

Und zwar gilt, falls A symmetrisch und regulär ist und eine LR-Zerlegung ohne Spaltenpivotisierung existiert, kann nach vorherige LR-Zerlegung A=LR das R erneut zerlegt werden in R=D*R', wobei R'=L^{T}
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