Eigenwerte einer (allg.) Matrix

Neue Frage »

mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte einer (allg.) Matrix
Hallo. Erneut ein Eigenwertproblem von meiner Seite.

Die Aufgabe:

Seien und . Bestimmen Sie alle Eigenwerte der Matrix

Hinweis: Betrachten Sie zunächst die Matrix .


Ich bin dem Hinweis gefolgt und habe mit wie folgt bestimmt:




Die Matrix ist symmetrisch und hat daher nur reelle Eigenwerte und ist diagonalisierbar. Aber weiter komme ich leider nicht.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Die Eigenwerte sind 0 ((q-1)-fach) und
mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Die Eigenwerte sind 0 ((q-1)-fach) und


Ok, aber wie kommt man darauf?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Den Fall haben wir ja hier schon behandelt. Nun kann man noch und evtl. betrachten, spätestens dann sollte man die passende Verallgemeinerung finden. (Vielleicht geht es auch anders.) Jetzt musst du diese nur noch beweisen smile
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Mit q=2 und q=3 ausprobieren. Big Laugh

Allgemein weiß ich gerade auch nicht.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

1. Zeige, dass ker(A) (q-1)-dimensional ist
2. Zeige, dass a_1^2 + ... + a_q^2 ein Eigenwert von A ist.

Fertig.
 
 
mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich habs mir mal angesehen. Wenn man die erste Zeile immer mit () multipliziert und die 2. bis n. Zeile mit so erhält man eine Matrix, die nur noch in der ersten Zeile Einträge verschieden von Null enthält. Damit ist die Dimension des Kerns .


Doch schon beim Nachweis des Eigenwertes tu ich mich schwer. Wie stell ich sowas an, ohne das charakteristische Polynom aufzustellen, oder geht das gar nicht ohne?


Angenommen, ich hätte die Eigenwerte bestätigt, gilt dann für die Eigenwerte von :

, ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Fritz, da du dich ja auch dem Planet rumtreibst, wie komme ich denn, wenn ich bei google einen Treffer habe an den Beitrag?

Ich lande jedesmal auf der Startseite und das Kotzen mich an. Vielleicht besitze ich aber auch gar keine Einreisegenehmigung für den planet Big Laugh
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Ich lande jedesmal auf der Startseite und das Kotzen mich an.


Ich weiß auch nicht. Wenn ich einen Thread vom Planeten verlinken will, dann klicke ich in der Übersicht auf den Link, drücke dabei aber die SHIFT-Taste. Nur dann kann ich den Link aus der Adresszeile kopieren und hier reinstellen. Ich hoffe, du verstehst, wie ich das meine. Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

na ich komme ja nicht an den Beitrag ran. Ich finde was bei google

matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=40182 - 24k -

Bekomme aber nicht den Betrag angezeigt, wenn ich das Suchergebnis auswähle

google "dyade Eigenwerte"
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, bei mir geht

http://www.matheplanet.com/matheplanet/n...php?topic=40182

wunderbar. verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Si claro, aber wo ist der gesuchte Beitrag zu den Stichworten? verwirrt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt verstehe ich nicht, wo dein Problem ist...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir einen Screenshot von dem Artikel machen?

Ich bekomme dann nur dies angezeigt. suche ich auf der Seite nach Dyade oder Eigenwert, keine Treffer.
mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich versteh nicht, was das mit meinem Problem zu tun hat. Augenzwinkern

Hab mir den verlinkten Beitrag angesehen und auch den Begriff Dyade mit meinem Problem verknüpft. Was ich auch gesehen hab ist, dass 0 tatstächlich (q-1)-facher Eigenwert ist. Was ich aber immer noch nicht verstanden hab ist der andere Eigenwert bzw. dessen Nachweis.

Greetz
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

@mlh

ich habe versucht, via google vielleicht eine Antwort auf deine Frage zu bekommen. Ich kann den Link aber nicht ansehen. Somit auch nicht beurteilen, was er taugt.

Ein Beweis fällt mir ad-hoc nicht ein. Aber wir sind bemüht Dir zu helfen. Also "mecker" nicht, wenn man Dir nicht gleich die Lösung präsentiert.

Wenn wir schon beweisen können, dass 0 (q-1) facher EW ist, sind wir doch ein gutes Stück weiter gekommen.
mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Ein Beweis fällt mir ad-hoc nicht ein. Aber wir sind bemüht Dir zu helfen. Also "mecker" nicht, wenn man Dir nicht gleich die Lösung präsentiert.
.


Niemals im Leben. Ihr habt mir so oft und so kompetent weitergeholfen, da wäre meckern das letzte was mir einfallen würde. Ich hatte nur den Faden verloren und dachte die Fragen wären teilweise an mich gerichtet.

Hier ist der Forumspost abfotografiert. Ich weiß zwar nicht, warum du Probleme mit dem Board hast, aber so hast du zumindest einen Einblick, worums da ging.

http://img249.imageshack.us/img249/7610/screeniedyadeuq6.png
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Einblick. Die Ursache ist auch gefunden. Firefox blockiert die Skripte, das soll der gute ja auch. Nur erscheint beim MP keine Fehlermeldung, sondern man wird einfach auf die Startseite verlinkt.

Heute schaue ich das Thema aber nicht mehr an.

Schläfer
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Da a ja nicht der Nullvektor sein soll, dürfen wir annehmen. Dann ist



ein Eigenvektor zum Eigenwert
mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme an, dass du den Vektor durch geschicktes Raten gefunden hast !? Ok, der Nachweis ist ja relativ leicht, so dass nur noch das Problem offen steht, wie sich die Eigenwerte von auf übetragen lassen.


Es gilt ja und analog

Es gilt also für die Eigenwerte bzw. und

Ist das so korrekt?
mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau so ist das. Jedenfalls hab ichs am Fall mit MuPad nachrechnen lassen und alles deutet drauf hin, dass es genau so ist. Der Nachweis schien mir auch schlüssig.



BTW: Ich habe jetzt alle meine Prüfungsaufgaben durchgerechnet. Vielen Dank für die tatkräftige Hilfe, ohne Euch wäre vieles im Unklaren geblieben. Ein Teil meiner (hoffentlich) guten Leistung geht auf euer Konto. Danke!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mylittlehelper
Ich nehme an, dass du den Vektor durch geschicktes Raten gefunden hast !?


Nein, mit System! Zuerst habe ich ker(A) berechnet und dann den darauf orthogonal stehenden Raum (1-dimensional). Da A symmetrisch ist, ist das nämlich der Eigenraum zum fehlenden Eigenwert.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Würdest Du es auch ausführlich aufschreiben? ich denke, das Problem wird noch öfter auftauchen Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wozu ausführlicher? Na gut. Die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten stehen bei symmetrischen Matrizen senkrecht aufeinander. Man weiß hier ja, dass ker(A) (q - 1)-dimensional ist. Da A diagonalisierbar ist, fehlt noch ein (einfacher) Eigenwert. Der Eigenraum dessen muss also senkrecht auf ker(A) stehen. Also: Orthogonalkomplement von ker(A) berechnen. Dann hat man "den" Eigenvektor x zum fehlenden Eigenwert. Durch Berechnen von Ax bekommt man dann auch den fehlenden Eigenwert.
mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Wozu ausführlicher? Na gut. Die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten stehen bei symmetrischen Matrizen senkrecht aufeinander. Man weiß hier ja, dass ker(A) (q - 1)-dimensional ist. Da A diagonalisierbar ist, fehlt noch ein (einfacher) Eigenwert. Der Eigenraum dessen muss also senkrecht auf ker(A) stehen. Also: Orthogonalkomplement von ker(A) berechnen. Dann hat man "den" Eigenvektor x zum fehlenden Eigenwert. Durch Berechnen von Ax bekommt man dann auch den fehlenden Eigenwert.


Ich habe versucht dies eben sauber aufzuschreiben und stocke beim Übergang vom Kern, welcher ja die Gestalt



hat. Wie komme ich jetzt genau auf die Gestalt vom Eigenvektor bzw. stimmt evtl. die Darstellung des Kerns nicht?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Unabhängig von der Richtigkeit ist die Menge so falsch bzw. sehr schlecht dargestellt.

Wo ist in der Vektordarstellung ein i, auf das Du dann deine Eigenschaft (|) beziehst?
mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Also was ich brauche ist eine Vektordarstellung, so dass



Ich habe gezeigt, dass alle Zeilen linear abhängig zueinander sind. Genaugenommen müsste man den Fall mit (was im Übrigen auch in meiner letzten Darstellung so gemeint war) extra untersuchen in dem Falle wäre aber die gesamte -te Zeile Null.

Damit lässt sich auf folgende Form bringen



Daher nahm ich an, dass der Kern die Gestalt von Vektoren hat, die in der ersten Eintragung eine Null haben und sonst beliebig sein können.

In Formeln:



Wobei die Zeilen- und Spaltenzahl der quadratischen, reellen und symmetrischen Matrix ist.

Und ich weiß auch, dass es eigentlich keinen Kern von Matrizen gibt sondern nur von den - mit Matrizen assoziierbaren - linearen Abbildungen. Aber nun genug des Formalismus, da er nur vom eigentlichen Problem ablenkt.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »









Zitat:
Ich habe gezeigt, dass alle Zeilen linear abhängig zueinander sind.


Wo hast Du das gezeigt?
mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Wo hast Du das gezeigt?


Auf meinem Zettel Big Laugh . Ups.


Seien .

Also: Für die -Zeile gilt entweder sie ist komplett 0 oder . Dann wähle man sich eine Zeile , für welche . Diese existiert per Definition.

Nun durchläuft man mit die Zahlen von 1 bis mit Ausnahme von . Wenn , dann multipliziere man diese Zeile mit und addiere das -fache der -ten Zeile hinzu. Dann erhält man die folgende Darstellung (nach ggf. Zeilenvertauschung).




Und das zeigt die lineare Abhängigkeit.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

OK, dann lass es uns ganz allgemein machen. Es gibt also ein so dass Wie du ja schon gesehen hast, ist gleichwertig zu (k-te Zeile)



Wir dürfen nun durch a_k teilen und erhalten



Also ist



und es folgt



Dies ist nun der Eigenraum zum fehlenden Eigenwert. Berechne nun Aa, und du wirst glücklich. Augenzwinkern
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Berechne nun Aa, und du wirst glücklich. Augenzwinkern


Big Laugh Freude

(Ja, es mag pubertär wirken, aber das konnte ich mir nicht verkneifen Big Laugh )

air
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Zitat:
Original von WebFritzi
Berechne nun Aa, und du wirst glücklich. Augenzwinkern


Big Laugh Freude

(Ja, es mag pubertär wirken, aber das konnte ich mir nicht verkneifen Big Laugh )

air


Hmm? Wegen Aa = Kacke, oder was? verwirrt
mylittlehelper Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Berechne nun Aa, und du wirst glücklich. Augenzwinkern


Jop, hab geschnackelt! Danke dir!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »