Via vollständiger Induktion nachweisen das eine Folge die harmonische Reihe ist.

12.08.2007, 19:24

Rahdox

Via vollständiger Induktion nachweisen das eine Folge die harmonische Reihe ist.

Erst mal

Ich hab folgendes Problem ... wenn auch etwas peinlich:

Die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ sei als $\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{n+1}:= x_n+(1/n) \end{eqnarray*}$ definiert.

Nun schau ich mir als erstes eine Folgeglieder an:
$\begin{eqnarray*} x_1:=1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_2:=2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_3:=1,5 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_4:=(17/16) \end{eqnarray*}$ usw.

und komm auf die Vermuttung sich um die harmonische reihe +1 handelt, sprich: $\begin{eqnarray*} 1+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i} \end{eqnarray*}$

Und beim Beweis der Vermuttungvia Vollständiger Induktion hängt jetzt bei mir :/
Kann mir jemand vielleicht nen Tipp für nen Anfang geben ? Meine eigenen versuch sind bis jetzt im sand verlaufen

12.08.2007, 19:28

tigerbine

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RE: Via vollständiger Induktion nachweisen das eine Folge die harmonische Reihe ist.
Was soll sich um die reihe handeln...

Deine rekursiv def. Folge lautet:

$\begin{eqnarray*} x_1:=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}:=x_n + \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Was suchst Du nun? Eine direkte Berechnungsvorschrift? Einen Grenzwert?

12.08.2007, 19:40

Rahdox

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Genauer genommen soll ich zeigen ob sie (die Folge) divergent oder konvergent ist.
Meiner Vermuttung nach ist sie divergent das sie sich als $\begin{eqnarray*} 1+\sum_{i=1}^n\frac {1}{i} \end{eqnarray*}$ darstellen ist und $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n\frac {1}{i} \end{eqnarray*}$ bekanntlicher Weise die harmonische Reihe ist und diese divergent ist.
Jetzt wollte ich via Induktion nachweisen das Folge gegebene Folge gelich der Folge $\begin{eqnarray*} 1+\sum_{i=1}^n\frac {1}{i} \end{eqnarray*}$ ist und anschließend noch den Beweis das die harmonische Reihe divergent ist, rauskrammen.
Bloss komme ich bei der Vollständigen Induktion nicht zu potte :/

Oder mein Überlegung is völlig falsch und es gibt nen viel einfacheren Weg nachzuweisen das die gegebene Folge divergent ist -.-

12.08.2007, 19:45

tigerbine

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Vergiss ess... Edit.

12.08.2007, 19:49

Rahdox

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Den Ansatz ? Die Aufgabe ? Beides ? :P
Naja trotzdem Danke smile

12.08.2007, 19:50

therisen

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Behauptung: $\begin{eqnarray*} \boxed{x_n = 1+\sum_{i=1}^{n-1}\frac1i} \end{eqnarray*}$
Induktionsschluss: $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=x_n+\frac1n=1+\sum_{i=1}^{n-1}\frac1i+\frac1n=\dots \end{eqnarray*}$

12.08.2007, 19:51

tigerbine

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Nein, ich meinte meinen Post. Falls Du den schon gelesen haben sollstest, solltest Du ihn vergessen Big Laugh

Folgenglieder:

$\begin{eqnarray*} x_1 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = 1 + \frac{1}{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3 = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_4 = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Ok. Vermutung:

$\begin{eqnarray*} x_{n} = 1 + \sum_{k=1}^{n-1}~\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Beweis:

IA: x_1 = 1, richtig (hier fällt die Summe weg}

IV: Die Behauptung ist richtig für n. Es gilt also $\begin{eqnarray*} x_{n} = 1 + \sum_{k=1}^{n-1}~\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

IS: $\begin{eqnarray*} x_{n+1}:=x_n + \frac{1}{n} \stackrel{IV} = 1 + \sum_{k=1}^{n-1}~\frac{1}{k} + \frac{1}{n} = 1 + \sum_{k=1}^n~\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

12.08.2007, 20:24

WebFritzi

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Da ich das heute schonmal in einem anderen Forum gesehen habe:

http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/...=628562#v628562

12.08.2007, 20:26

Rahdox

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Ich seh den Wald vor lauter Bäumen nicht -.-
Nur um sicher zu gehen:

Induktionsanfang (n=1):
$\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$

Induktionsvorraussetzung:
Für jedes Element n>1, $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt :
$\begin{eqnarray*} x_n:=1+\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt (n->n+1)

Induktionbehauptung:
Dann gilt auch : $\begin{eqnarray*} x_{n+1}:=1+\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Induktionsbeweis:
$\begin{eqnarray*} x_{n+1}:\stackrel{Def}=x_n+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \stackrel{IV}=1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ q.e.d smile

So jetzt such ich mir noch den Beweis für die divergenz der Harmonische Reihe und bin fertig.
Vielen vielen dank und angenehmen rest Sonntag noch Augenzwinkern

12.08.2007, 20:27

therisen

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Zitat:

Original von Rahdox
Induktionsvorraussetzung:
Für jedes Element n>1, $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt :
$\begin{eqnarray*} x_n:=1+\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Nicht für jedes, sondern für ein Augenzwinkern

EDIT: Und warum $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ ?

12.08.2007, 20:28

WebFritzi

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Erstens hat tigabiene das oben schon geschrieben, und zweitens sind einige von dir benutzte Formalismen fehl am Platze.

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Via vollständiger Induktion nachweisen das eine Folge die harmonische Reihe ist.

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