Aufleiten der Logarithmusfunktion

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25.02.2005, 15:14	Kurts Sohn	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufleiten der Logarithmusfunktion Zunächst mal: Ich weiß, dass die Funktion F(X) = x * ln(x) - x eine Stammfunktion von f(x) = ln(x) ist. Ich weiß auch, wie man darauf kommt (Partielle Integration mit f(x) = ln(x) * 1)! Mein Problem ist aber nun folgendes: wie kann ich die Fläche zwischen der x-Achse und $\begin{eqnarray} ln(4x-x²) \end{eqnarray}$ berechnen? Die Nullstellen (sprich die Grenzen), sind schon errechnet: X01 = "Wurzel3" + 2; X02 = -"Wurzel3" + 2. Ich weiß nur nicht, wie man auf das Integral, bzw. die Stammfunktion von $\begin{eqnarray} ln(4x-x²) \end{eqnarray}$ bildet!?!?! Wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet und auch den Weg dazuschreiben könntet. Mit partieller Integration komme ich nicht weiter, aber vielleicht ist das der richtige Weg???
25.02.2005, 15:43	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Verwende das erste Logarithmusgesetz vor dem Integrieren: $\begin{eqnarray} \ln{(4x-x^2)} = \ln{ \left( x(4-x) \right)} = \ln{x} + \ln{(4-x)} \; , \ \ 0 < x < 4 \end{eqnarray}$
25.02.2005, 16:42	Ahasver	Auf diesen Beitrag antworten »
jo, logarithmus gesetze ... dir würde mit sicherheit noch ein graph helfen, um zu wissen, welche funktion man von welcher abziehn muss etc. um die (richtige) gesuchte fläche berechnen zu können.
25.02.2005, 18:33	Kurts Sohn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, danke! Allerdings kann ich nicht mal eine Stammfunktion zu $\begin{eqnarray} ln(x+4) \end{eqnarray}$ bilden !!!! Weiß nicht ob wirs nicht gemacht haben, in meinen Unterlagen finde ich nichts... Wie macht man das denn? Mit Erklärung bitte!
25.02.2005, 18:35	Kurts Sohn	Auf diesen Beitrag antworten »
Graph habe ich auch schon, scheint eine umgedrehte gestauchte Parabel zu sein mit D= {0>x<4}
25.02.2005, 18:51	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Und zur Bildung der Stammfunktion von ln(x-4) kannst du Substituieren z=x-4.
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25.02.2005, 18:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wenn du die Substitutionsregel nicht kennst, kannst du auch partiell integrieren: $\begin{eqnarray} \ln{(4-x)} = 1 \cdot \ln{(4-x)} \end{eqnarray}$ Wähle im ersten Schritt als Stammfunktion von $\begin{eqnarray} u'(x) = 1 \end{eqnarray}$ die Funktion $\begin{eqnarray} u(x) = x-4 \end{eqnarray}$
27.02.2005, 17:00	Kurts Sohn	Auf diesen Beitrag antworten »
könnt ihr mir beim partiellen Integrieren helfen? Bei der Substitutionsregel blicke ich nicht wirklich ganz durch. $\begin{eqnarray} \int_{b}^{a}~1ln(x-4)~dx = [xln(x-4)]_{b}^a - \int_{b}^{a}~\frac{x}{x-4}~dx \end{eqnarray}$ Wie macht man jetzt weiter? Wäre schön, wenn es eine Schritt für Schritt Erläuterung geben könnte...
27.02.2005, 17:06	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn "Auf..." /edit: Sorry, es hieß doch $\begin{eqnarray} 4 - x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{x}{4 - x} = \frac{x - 4 + 4}{4 - x} = \frac{-(4 - x)}{4 - x} + \frac{4}{4 - x} = -1 + \frac{4}{4 -x} \end{eqnarray}$ Das dürfte helfen .
27.02.2005, 17:08	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Beachte, daß auch $\begin{eqnarray} u(x)=x-4 \end{eqnarray}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} u'(x)=1 \end{eqnarray}$ ist. Dann geht es schneller. Das hat hier übrigens nichts mit der Substitutionsregel zu tun. Das ist einfach partielle Integration. Und noch etwas: Vorher hieß es $\begin{eqnarray} \ln{(4-x)} \end{eqnarray}$ , jetzt schreibst du $\begin{eqnarray} \ln{(x-4)} \end{eqnarray}$ . Ich hoffe, du bist dir des Unterschiedes bewußt.

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