neurales Element, Adjunktion |
| 25.02.2005, 15:45 | The_Lion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| neurales Element, Adjunktion Ich habe ein Verständnisproblem. Es geht um Halbgruppen und Monoide. Ich habe gelesen, dass eine Halbgruppe (M, .) durch Adjunktion eines neutralen Elements e zu einem Monoid (M, *) wird. Aber man solle beachten, dass ein evtl vorhandenes neutrales Element € seine Neutralitätseigenschaft dabei verliert , denn es gilt: e * € = € * e = € != e 1.) Wenn ein sogenanntes "evtl vorhandenes neutral. Element" schon existiert, dann ist es doch keine Halbgr. sondern ein Monoid ?! 2.) Wieso gilt nach der Adjunktion nicht € = e ? Danke. |
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| 25.02.2005, 16:02 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: neurales Element, Adjunktion
Ich auch. Vielleicht solltest du das, was du da gelesen hast, etwas ausführlicher beschreiben. |
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| 25.02.2005, 16:18 | The_Lion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aus einer Halbgruppe (M, . ) können wir durch Adjunktion eines neutralen Elementes stets ein Monoid erhalten: Sei (M, .) eine Halbgruppe und (nicht ELement von M). Dann ist mit x*y := x . y für x,y € M x für y = e y für x = e ein Monoid mit neutralem Element e. Beachte: Ein in M etwa schon vorhandenes neutr. ELement verliert bei der Adjunkon seine Neutralitätseigenschaft, denn es ist . ----------------------------------------- 1.) Wenn ein sogenanntes "evtl vorhandenes neutral. Element" schon existiert, dann ist es doch keine Halbgr. sondern ein Monoid ?! 2.) Wieso gilt nach der Adjunktion nicht € = e ? edit : habs grad nochmal editiert (nur, falls Du es davor schon gelesen hast.) |
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| 25.02.2005, 16:31 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Betrachten wir mit der gewöhnlichen Addition. Hier ist 0 ein "schon vorhandenes neutrales Element". Jetzt nehmen wir ein neues, bisher noch nicht vorkommendes Objekt und definieren Und jetzt gilt eben: Denn ist ja nach Definition neutrales Element. Da aber nach Voraussetzung vorher noch nicht in der Menge vorkam, also insbesondere nicht 0 ist, ist 0 kein neutrales Element mehr, da es diese Eigenschaft bezüglich nicht mehr hat. Aber letzten Endes ist das alles Haarspalterei. Halbgruppen und Monoide haben in der Mathematik nicht die Bedeutung, die der Anfänger gelegentlich dahinter vermutet. |
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| 25.02.2005, 16:40 | The_Lion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, aber vielleicht haben sie in der Informatik die Bedeutung 
Danke. |
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| 26.02.2005, 00:16 | The_Lion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe noch eine Frage. Ist viellicht trivial, aber... In der Gleichung y*a = b , kann man hier ein beliebiges Element nur jeweils links ODER rechts von "y*a" setzen, also z.B. : e * y * a = e * b oder, darf man ein Element auch "dazwischensetzen" , also y*e*a . ? Nur macht das jetzt glaub ich keinen Sin bzw ist verboten, da auf der anderen Seite der Gleichung nur ein "b" exisitiert. y*a = b*c => y*e*a = b*e*a Ist das erlaubt ? (Sei e neutrales Element oder beliebig). |
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| 26.02.2005, 00:21 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"y*a = b*c => y*e*a = b*e*c" <-- da meinst c oder? beachte auch, das hier immer assoziativgesetze gelten.... also kannst du erst y*e*a klammern (dann isses (y*e)*a ) und dannach dann zunächst y*e=y auswerten..... mfg jochen edit: ach ja und noch zur bedeutung von halbgruppen.... assoziative magmen... damit kann man so gut wie nix rechnen oder beweisen... kaum interessant..... richtig wichtig wird es dann erst ab der gruppentheorie.... wir hatten das thema in der info1 vorlesung mal ganz kurz, aber gebraucht haben wir von alldem nix mehr danach... soviel dazu! |
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| 26.02.2005, 00:36 | The_Lion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, stimmt, habe gar nicht an das Assoziativgesetz gedacht 
--------- In einer Gruppe gelten die Kürzungsregeln: ax = ay ==> x = y xa = ya ==> x = y und die Eindeutige Lösbarkeit von Gleichungen: gibt es genau ein mit ax = b und genau ein mit ya = b. Eine Halbgruppe (G, .) ist genau dann eine Gruppe, wenn für jedes a € G die Linkstranslation l_a : G --> G , x --> ax und die Rechtstranslation r_a : G --> G , x --> xa surjektiv sind. -------- Was hat es genau mit dieser Translationsfunktion auf sich ? Bedeutet das nichts anderes als die Eindeutige Lösbarkeit von Gleichungen, welche auf Kommutativität beruht ? |
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| 26.02.2005, 00:39 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
willst du wissen, was das aussagt? du hast für jedes element a aus G eine abbildung . diese schickt jedes x eben auf a*x. genauso für jedes a aus G eine abbildung . diese schickt ein element x aus G auf x*a. was genau verstehst du daran nicht? oder hast du nur probleme mit dem beweis? |
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| 26.02.2005, 00:45 | The_Lion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dass es eine Abbildung ist, die x auf x*a schickt usw verstehe ich schon. Nur den Bezug zur eindeutigen Lösbarkeit von Gleichungen. Das besagt beides dasselbe oder ? die Linkstransltion z.B sagt dann, dass (weil surjektiv) a*x (= b) mit einem x € G dargestellt, gelöst werden kann, right ? edit : müsste man hier nicht von Bijektivität sprechen ? denn es gibt ja GENAU ein x , mit dem die Gleichung gelöst wird. Oder beruft man sich bei Surjektiviät einfach auf die Gleichheit von x und x' , sofern es z.B 2 Lösungen gibt ? |
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| 26.02.2005, 00:49 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich glaube ich verstehe dein problem nicht ganz.... aber ich denke, du willst das sagen, oder? die surjektivität der linksrelation (und zwar für jedes a!) sagt, dass für jedes a jedes b irgendwie von mindestens einem element x "getroffen" wird.... das heißt für alle a,b existiert x mit a*x=b soweit klar?
übrigens muss eine gruppe nicht kommutativ sein 
noch zum nachdenken: von halobgruppe zu gruppe fehlen neutrales und inverses zu jedem... |
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| 26.02.2005, 00:55 | The_Lion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok , Danke. Hat sich geklärt.
Ja , ich weiß. Mache einfach nur blöde Denkfehler. Müssten die beiden Translationen nicht bijektiv sein ? Da es ja NUR EIN x gibt, das als Lösung dienen kann ? Das meinte ich mit bijektiv. (Aber deine erste Antwort hat mir das Verständproblem schonmal geklärt) |
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| 26.02.2005, 01:02 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmmm, bei endlicher menge wäre das gar kein problem... da sind surjektive selbstabbildungen immer auch injektiv und andersrum..... wenn du hier direkt schon ein gruppe hast ist das auch klar.... aus ax=b und ay=b folgt, wenn man das inverse zu a von links anverknüpft ja automatisch x=y. da du aber von einer halbgruppe ausgehst und noch nicht von invesen ausgehen kannst, musst du da wohl anders argumentieren.... diese abbildungen sind auf jeden fall bijektiv bei gruppen (! und das sollen es dann ja sein !), da hast du recht... da muss ich jetzt grad noch mal nachdenken, aber evtl. nicht mehr heute nacht...... |
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