Basiswechsel bei Bilinearform

13.08.2007, 18:44

vectorix

Basiswechsel bei Bilinearform

Hi

Sei A die Matrix einer Bilinearform b bezüglich einer Basis v1,v2,v3. Bestimme die Matrix C von b bezüglich der Basis w1,w2,w3.

Nun v ist nicht die Standardbasis. Ich dachte ich hab das Konzept schon begriffen, aber ich komm einfach nicht auf die in der Lösungsserie angegebene Matrix. Mit folgendem Ansatz sollte ich doch direkt die Matrix C bekommen oder nicht?

C = (v1,v2,v3)^T * (w1,w2,w3)(^-1)(^T) * A * (w1,w2,w3)(^-1)*(v1,v2,v3)

Danke für ne Antwort

13.08.2007, 19:24

therisen

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Formeleditor, bitte.

14.08.2007, 09:30

vectorix

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$\begin{eqnarray*} {\begin{pmatrix} v_1 ,& v_2, & v_3 \end{pmatrix}}^T * {{\begin{pmatrix} w_1 ,& w_2, & w_3 \end{pmatrix}}^{-1}}^ T * A * {\begin{pmatrix} w_1 ,& w_2, & w_3 \end{pmatrix}}^{-1} * {\begin{pmatrix} v_1 ,& v_2, & v_3 \end{pmatrix}} \end{eqnarray*}$

Edit:

Bin mir gerade jetzt nicht mehr sicher, hab das damals auf einem Übungsblatt so gelöst und es wurde als richtig korrigiert. Aber wenn ich das jetzt noch einmal genau anschaue scheint es nicht mehr zu stimmen.

Sollten nicht um die Matrix A herum zuerst mit den v Basen rückmultipliziert werden, damit man A zu den Standardbasen hat und dann erst mit den neu geforderten Basen?

14.08.2007, 11:33

WebFritzi

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Ich bin da jetzt auch nicht so firm, aber mit Sicherheit wird die Transformationsmatrix bzgl. der beiden Basen eine Rolle spielen.

14.08.2007, 13:11

therisen

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RE: Basiswechsel bei Bilinearform
Es bezeichne $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ die Basis $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,v_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ die Basis $\begin{eqnarray*} w_1,w_2,w_3 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt

$\begin{eqnarray*} C=\left[\frac wv\right]^t A\left[\frac wv\right] \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} \left[\frac wv\right] \end{eqnarray*}$ die Darstellungsmatrix der Identitätsabbildung ist (w ist die Basis, die eingesetzt wird und v die Basis, in der "dargestellt" wird).

Gruß, therisen

14.08.2007, 14:13

WebFritzi

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RE: Basiswechsel bei Bilinearform

Zitat:

Original von therisen
wobei $\begin{eqnarray*} \left[\frac wv\right] \end{eqnarray*}$ die Darstellungsmatrix der Identitätsabbildung ist (w ist die Basis, die eingesetzt wird und v die Basis, in der "dargestellt" wird).

Was der oben genannten Transformationsmatrix (nennen wir sie T) gleichkommt. Bist du sicher, dass es nicht $\begin{eqnarray*} C = T^{-1}AT \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} C = T^{-t}AT \end{eqnarray*}$ heißen muss?

14.08.2007, 14:28

WebFritzi

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Hab's gerade nachgerechnet. Es stimmt, wie du es geschrieben hast, therisen.

14.08.2007, 21:15

vectorix

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ok thx, habs heute nochmal überprüft, und scheinbar war ein Fehler in meiner Ausrechnung der Matrizen gestern...

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