Vollstetigkeit und Operatornorm |
| 13.08.2007, 19:33 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Vollstetigkeit und Operatornorm die zweite: Vollstetige Operatoren überführen schwach konvergente in stark konvergente Folgen. Im Hilbertraum ist dies äquivalent mit Kompaktheit (des Operators). Ist es richtig, daß das in der Operatornorm eines vollstetigen Operators im Banachraum auftretende Supremum angenommen wird? |
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| 14.08.2007, 02:00 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Vollstetigkeit und Operatornorm
Das ist auch im Banachraum äquivalent.
Ich glaube nicht. Wieso sollte das so sein? |
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| 14.08.2007, 15:16 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Vollstetigkeit und Operatornorm
Also braucht man nicht Reflexivität? Gibt's irgendwo einen Beweis?
Ich wünschte, ich wüßte es. Das haben Hellinger-Toeplitz in ihrem Paper so angedeutet (vgl. Hellinger-Toeplitz, Grundlagen fiir. eine Theorie der unendlichen. Matrizen [Mathematische Annalen Bd. LXIX (1910), S. 289--330]), oder ich habe es falsch verstanden. |
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| 14.08.2007, 15:26 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Vollstetigkeit und Operatornorm
Huuups... Entschuldige bitte. Da habe ich mich geirrt. Du hast recht, man braucht die Reflexivität. |
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| 14.08.2007, 15:37 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Vollstetigkeit und Operatornorm Kein Thema, mir schwirrt sowieso der Kopf. Ich habe zu lange über komische Mengen und esoterische Fragen nachgedacht usw. Siehe AA-Thread. |
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| 17.08.2007, 13:15 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Vollstetigkeit und Operatornorm
So, ich habe mir selbst einen "Beweis" überlegt - für Hilberträume. Mal sehen, ob er stimmt: Zunächst: In Hilberträumen (womöglich auch anderswo?) hat jede beschränkte Folge eine schwach konvergente Teilfolge, deren Grenzwert ebenfalls die Schranke nicht übersteigt. Sei nun T vollstetiger Operator auf einem Hilbertraum H nach einem anderen Raum (Hilbert brauche ich dort nicht). Dann existiert eine Folge in der Einheitssphäre mit . Aus dieser Folge wähle eine schwach konvergente Teilfolge, mit . Da T vollstetig, folgt , und wegen der Stetigkeit der Norm und der Eindeutigkeit des Grenzwerts . Stimmt's? |
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| 17.08.2007, 14:19 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Vollstetigkeit und Operatornorm ist falsch. Ein Orthonormalsystem konvergiert beispielsweise schwach gegen Null. Dein Beweis kann dennoch gerettet werden. 
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| 17.08.2007, 14:26 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Vollstetigkeit und Operatornorm Hm, schon, aber die Folge ist doch aus der Einheitssphäre entnommen, diese ist abgeschlossen und damit schwach-abgeschlossen? Oder gibt es diesen Begriff gar nicht - ich meine damit eine Menge, welche den schwachen Grenzwert einer jeden ihrer schwach konvergenzen Folgen enthält? Ok, das Beispiel mit dem ONS spricht wohl dagegen. 
Dann muß ich nochmal nachdenken. (Witzig, ursprünglich hatte ich auch nur schreiben wollen, daß der Grenzwert jedenfalls in der Einheitskugel liegt, denn das gilt ja; wahrscheinlich reicht das auch, wenn ich nochmal über die andere Def. der Operatornorm geht? Ich denke mal darüber nach.) |
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| 17.08.2007, 14:39 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Vollstetigkeit und Operatornorm Ok, also habe ich nur ||x|| <= 1, immerhin noch x <> 0, wenn T <> 0, was wir OE annehmen können. D. h. aber ||Tx||/||x|| = ||T||/||x|| >= ||T|| = sup ||Tx||/||x|| >= ||Tx||/||x||, folgt ||Tx||/||x|| = ||T(x/||x||)|| = ||T||, und das genügt dann auch. (Das Supremum über x <> 0.) Stimmt's jetzt? |
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| 17.08.2007, 14:40 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Vollstetigkeit und Operatornorm
Nein, das gilt nur für konvexe Mengen. Also ist die Einheitskugel schwach abgeschlossen und damit , was für dich ausreicht.
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| 17.08.2007, 15:24 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Vollstetigkeit und Operatornorm Ah, das hatte ich mir zwischenzeitlich schon gedacht, also so wie oben, jetzt hoffentlich richtig. Danke. 
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| 17.08.2007, 15:28 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
@Soliton: Wenn du auch mal von anderen eine Antwort auf deine Fragen bekommen willst als von mir, dann empfehle ich dir, dich auf Matroids Matheplanet (auch ein Forum) zu registrieren. Dort gibt es erheblich mehr Leute, die sich mit Funkana auskennen als hier. |
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| 17.08.2007, 15:34 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Oh, danke. Du reichst mir derzeit völlig.
Wenn das andererseits ein freundlicher Hinweis darauf sein soll, daß Du auch nicht immer antworten willst oder kannst (schon mangels Muße), dann danke ich Dir auch dafür. Ich wollte es nicht übertreiben. 
Ich versuch's dann auch bei den Matroiden. |
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| 17.08.2007, 15:38 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du übertreibst es nicht, keine Angst. Es ist nur - wie ich finde - besser für einen, mehrere Meinungen zu hören als nur eine. Dort würde ich mich natürlich auch an den Diskussionen beteiligen. |
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