Ableitung der e-Funktion

25.02.2005, 17:03

DanielE

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Ableitung der e-Funktion

Hallo zusammen, ich habe hier ein Problem bzw. ein Verständnisproblem.
Hab folgendes in der Formelsammlung gefunden:

f(x)= $\begin{eqnarray*} e^{[]} \end{eqnarray*}$ -> f '(x)= $\begin{eqnarray*} e^{[]}\cdot[]' \end{eqnarray*}$

Ich habe das mal mit einem Beispiel durchgerechnet (Mit Substitution) und komme auf was anderes.

Beispiel: f(x)= $\begin{eqnarray*} e^{4x} \end{eqnarray*}$

f '(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \cdot e^{x} \end{eqnarray*}$

Müsste die "Formel" also nicht wie folgt lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{[]'}\cdot e^{[]} \end{eqnarray*}$

Und das Gleiche ist es ja auch nicht !

Vielen Dank schonmal an alle Helfer .... !

Gruß

Daniel

25.02.2005, 17:06

Mathespezialschüler

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RE: Ableitung der e-Funktion
Die Regel ist vollkommen richtig und lässt sich mit der Kettenregel herleiten!

Zitat:

Original von DanielE
Beispiel: f(x)= $\begin{eqnarray*} e^{4x} \end{eqnarray*}$

f '(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \cdot e^{x} \end{eqnarray*}$

Wenn du der Meinung bist, dass die Regel nicht stimmt und dieses Gegenbeispiel bringst, dann solltest du zumindest begründen, warum du dieser Meinung bist und wie du hier auf f'(x) kommst! Das ist nämlich völlig unklar.

25.02.2005, 17:25

DanielE

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Zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~cos 2x~dx \end{eqnarray*}$
u=2x
$\begin{eqnarray*} \frac{du}{2}=dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~2cos(u)\cdot\frac{du}{2}~dx \end{eqnarray*}$
->2sin(2x)

25.02.2005, 17:32

Mathespezialschüler

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Was hat das denn jetzt damit zu tun????? verwirrt

verwirrt

25.02.2005, 17:38

DanielE

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Das wäre doch die genau gleiche Substitution. Bei mir im Lösungsheft steht aber als Lösung.

0,5 sin 2x

und danach habe ich das mal mit der e Funktion gemacht. Was stimmt denn jetzt ???

25.02.2005, 17:43

Ahasver

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bei mir steht im exponenten bei e leider nur ein komisches rechteck oO
ist das so gewollt? ^^

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25.02.2005, 17:46

DanielE

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Ja, das soll für eine beliebige Gleichung gelten !

25.02.2005, 17:53

Ahasver

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edit, sry hab was übersehn

25.02.2005, 18:10

etzwane

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RE: Ableitung der e-Funktion

Zitat:

Original von DanielE
...
f(x)= $\begin{eqnarray*} e^{[]} \end{eqnarray*}$ -> f '(x)= $\begin{eqnarray*} e^{[]}\cdot[]' \end{eqnarray*}$

Ich habe das mal mit einem Beispiel durchgerechnet (Mit Substitution) und komme auf was anderes.

Beispiel: f(x)= $\begin{eqnarray*} e^{4x} \end{eqnarray*}$

f '(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \cdot e^{x} \end{eqnarray*}$
...

In deinem Beispiel ist: []=4x
Wieso ist dann: []'=1/4 ?
Und wieso schreibst du bei der Ableitung f'(x) für $\begin{eqnarray*} e^{[]} \end{eqnarray*}$ nicht entsprechend $\begin{eqnarray*} e^{4x} \end{eqnarray*}$ ?

25.02.2005, 18:31

DanielE

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Das eine soll ALLGEMEIN gelten und das andere sind zwei Beispiele.

Es bringt mich schon weiter wenn ihr mir sagt ob

die Ableitung der cos Funktion richtig oder falsch ist, also kommt

da jetzt 2sin 2x

oder

0,5sin 2x raus ?

25.02.2005, 18:40

etzwane

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Sag mal, kann es sein, dass du Ableitung und Integration durcheinander bringst ?

Schreib am besten, das was du wissen willst, nochmal neu auf, so wie bisher ist das eigentlich nicht verständlich.

25.02.2005, 18:52

DanielE

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Das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~cos 2x~dx \end{eqnarray*}$

Stimmt die Lösung : 2sin 2x ???

25.02.2005, 19:01

Ahasver

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ja ich denke auch dass du ableiten und das bilden der stammfunktion durcheinander bringst.

wenn die finktion lautet:
$\begin{eqnarray*} f(x)= e^{4x} \end{eqnarray*}$
dann ist
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 4*e^{4x} \end{eqnarray*}$

jedoch die stammfunktion F(x) von f(x) lautet:
$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{1}{4}*e^{4x} \end{eqnarray*}$

...ich hoffe, das klärt die verwirrung smile

smile

25.02.2005, 19:04

AndyRo

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Warum überprüfst du nicht durch ableiten, ob du die richtige Stammfunktion gefunden hast??

25.02.2005, 19:04

etzwane

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Ich rechne mal vor:

$\begin{eqnarray*} J=\int_{b}^{a}~cos 2x~dx \end{eqnarray*}$ ist zu bestimmen.

Du substituierst 2x=u, also x=u/2, dx=1/2*du und erhältst

$\begin{eqnarray*} J=\int_{x=b}^{x=a}\cos u~\cdot \frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\int_{x=b}^{x=a}\cos u~du \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} J=\frac{1}{2}[\sin u]_{x=b}^{x=a}=\frac{1}{2}[\sin 2x]_b^a \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} J=\frac{1}{2}(\sin 2a - \sin 2b) \end{eqnarray*}$

25.02.2005, 19:21

DanielE

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In ter Formelsammlung steht doch:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~e^{x} ~dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$

Jetzt integriere ich folgendes mal durch:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~e^{4x}~dx \end{eqnarray*}$

Substitution: u=4x

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}=4 \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} \frac{du}{4}=dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~e^{u} ~ \frac{du}{4} \end{eqnarray*}$

4 $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~e^{u}~ \end{eqnarray*}$

-->4 $\begin{eqnarray*} e^{4x} \end{eqnarray*}$

Oder irre ich mich da jetzt ? Irgendwo muss der Fehler ja liegen. Abl. und Int. können ja nicht das gleiche sein , LOGISCH !

25.02.2005, 19:26

etzwane

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Zitat:

Original von DanielE
...
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~e^{u} ~ \frac{du}{4} \end{eqnarray*}$

4 $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~e^{u}~ \end{eqnarray*}$
...

Und hier steckt dein Fehler, die obere Zeile ist noch richtig!

25.02.2005, 19:31

Ahasver

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du/4 = 1/4 * du ....du kannst also das 1/4 aus dem integral ziehen, 4 ist falsch.

25.02.2005, 19:39

DanielE

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Kann ich nicht alles MAL vier rechnen ?

25.02.2005, 19:41

Ahasver

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als äquivalenzumformung?! ...nein du kannst nicht einfach so MAL 4 rechnen :S

25.02.2005, 19:43

DanielE

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$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~cos 2x~dx \end{eqnarray*}$

Substitution u=2x

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~cos (u)~\frac{du}{2} \end{eqnarray*}$

Hier kann ich ja dann auch das 1/2 rausziehen.
Dann wäre das Ergebnis von eben --> 2 sin 2x FALSCH
dann müsste es ja 0,5 sin 2x heissen !

@edit: stimmt, ist ja keine Gleichung, man ich ich verpeilt ...

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