Stetigkeit von Linearformen usw. in l^p |
| 13.08.2007, 19:36 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Stetigkeit von Linearformen usw. in l^p die dritte (wenn man von unten nach oben liest): In einem Paper von Hellinger-Toeplitz habe ich entdeckt, daß alle Linearformen und alle Bilinearformen, insbesondere alle quadratischen Formen, auf l^2 stetig sind! Habe ich das richtig verstanden - und weiß jemand, ob dies auch für l^p im allgemeinen gilt? (Im Paper fand ich nur eine Andeutung, die ich nicht verfolgen konnte.) |
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| 14.08.2007, 02:02 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist mit Sicherheit falsch. Siehe auch im Thread (Auswahlaxiom). Du musst da was falsch verstanden haben. |
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| 14.08.2007, 15:50 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm. Ich verstehe den Verweis auf den AA-Thread nicht. Nur um sicherzugehen: Hellinger-Toeplitz reden nur von Linearformen usw., nicht von beliebigen Funktionalen. Es gibt (im Schattenreich des AA) unstetige Funktionale, einverstanden. Aber auch unstetige Linearformen auf l^2? Hellinger-Toeplitz verneinen dies m. E., denn sie geben einen Satz über die "gleichmäßige Endlichkeit von Linearformen" auf l^2 an. Der besagt dies: Wenn der - zunächst ohne Rücksicht auf Konvergenz - hingeschriebene Formalausdruck mit festen für jeden Punkt des Einheitskreises in l^2 endlich ist, dann ist er sogar auf dem Kreis gleichmäßig beschränkt etwa durch ein reelles M (dann konvergiert der Ausdruck überall in l^2, auch ist dann zwingend ). Das heißt doch: Jede Linearform, die überhaupt wohldefiniert ist - also jede Linearform -, auf l^2 ist auf der Einheitskugel beschränkt, also stetig. Oder wie? Vgl. Hellinger-Toeplitz, Grundlagen fiir. eine Theorie der unendlichen. Matrizen [Mathematische Annalen Bd. LXIX (1910), S. 289--330]. EDIT: Hm, nochmal über den AA-Thread nachdenkend... Da ich die Linearform "angeben" kann und l^2 vollständig ist, folgt doch mit dem Ergebnis des AA-Threads, daß die Linearform nicht unstetig sein kann! 
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| 14.08.2007, 15:53 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was ist denn für dich eine Linearform? Ich verstehe den Begriff als "lineares Funktional". Ist es bei dir etwas anderes? |
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| 14.08.2007, 15:56 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wer sagt denn, dass jedes lineare Funktional (jede Linearform?) eine solche Form hat? |
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| 14.08.2007, 15:57 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso, da liegt der Hase im Pfeffer. Linearform ist hier - für H-T - eine lineare Abbildung von l^2 (oder l^p) in den Skalarkörper, deren Funktionsterm dem o. g. Summenausdruck entspricht. Entsprechend Bilinearform und quadratische Form. Auch diese sind nach Hellinger-Toeplitz stetig - und wenn mein AA-Argument aus dem o. g. EDIT richtig ist, ist das nun auch ohne Hellinger-Toeplitz klar (wobei für das AA-Argument freilich der Beweis fehlt, aber der steht vielleicht in der Literatur, die im Wikipediaartikel referenziert ist). |
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| 14.08.2007, 15:59 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, sorry, ich dachte, der Begriff wäre üblich (ich selbst konnte damit vor dem Artikel von H-T auch nichts anfangen, aber ich dachte, das wäre nur meine Doofheit). Kannst Du mir (bzw. H-T), d. h. den obigen Aussagen, mit diesem Begriffsverständnis zustimmen? |
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| 14.08.2007, 16:02 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also, wenn eine Linearform bei dire immer ein solcher Summenausdruck ist, dann stimmt die Aussage natürlich. |
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| 14.08.2007, 16:10 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Würdest Du denn sagen, daß das ohne den ganzen Schnickschnack trivial ist - etwa weil der Funktionsterm sich aus stetigen Operationen zusammensetzt - bei einer endlichen Summe, also in endlichen l^p-Räumen wär's so oder so klar -, oder bedarf wegen der Unendlichkeit der Summe die Aussage doch näherer Betrachtung? Die Aussage gilt jedenfalls auch für alle p >= 1. |
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| 14.08.2007, 16:15 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, aber dann ist a aus l^q, wenn die x aus l^p kommen. Und nein, der Beweis der Aussage ist nicht trivial. Man braucht da das Prinzip der gleichm. Beschränktheit (bzw. Satz von Banach-Steinhaus). |
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| 14.08.2007, 16:43 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah, danke. |
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