Kreisgleichung

13.08.2007, 23:03

Olleg89

Kreisgleichung

Hallo,

wir haben die Kreisgleichung k: x²+y²=5 und die Geradenschar g(x)=-1/2x-1/2c

Jetzt war die Frage, für welchen Wert von c die Gerade Passante, Sekante oder Tangente zu k ist.
Es muss also entweder ein Berührpunkt, zwei Schnittpunkte oder gar keine Lösung rauskommen.

Ich habe g in k eingesetzt und soweit umgeformt, dass ich folgendes habe:
x²+0,4cx+1/5c²=4

Jetzt müsste ich ja nach c auflösen oder? nur das bekomme ich irgendwie nicht hin.
Wäre für Hilfe dankbar.

Grüße
Olleg

13.08.2007, 23:07

Rare676

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RE: Kreisgleichung
nein. wende die pq formel an und führe eine Fallunterscheidung durch, indem du die Diskriminante auf eine, 2 oder keine Lösung untersuchst Augenzwinkern

13.08.2007, 23:07

aRo

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ohne irgendetwas nachgerechnet zu haben:
du musst nicht nach c auflösen, sondern nach x. und dann schauen, wie viele lösungen es in abhängigkeit von c jeweils gibt.

13.08.2007, 23:11

mylittlehelper

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RE: Kreisgleichung
Bitte nutze doch den Formeleditor.

Aber davor abgesehen willst du wissen, wie viele Lösungen deine Gleichung hat.

Deine Umformung kann ich bestätigen (Einsetzen von $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

Wir haben also:

$\begin{eqnarray*} x^2+\frac{2}{5}cx+\frac{c^2}{5}-4=0 \end{eqnarray*}$

Und hier kommt dein Denkfehler:

Wir interessieren uns zwar für $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ aber nur als Indikator für die Anzahl der Lösungen von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Hier kommt der Begriff der Diskriminante (die Unterscheidende) ins Spiel. Na, dämmerts?

Falls nicht schau dir die Lösungsformel für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mal genau an und entscheide, für welche Fälle eben 1, 2 oder keine Lösung herauskommen.

13.08.2007, 23:14

Olleg89

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ja danke ihr habt recht, nach x umstellen wäre etwas besser ;-) danke schonmal soweit, ich versuchs jetzt mal weiter

13.08.2007, 23:32

Olleg89

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Also mit quadratischer Ergänzung hätte ich folgendes Lösungen:

$\begin{eqnarray*} (x+0,2c)²=4-0,16c² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= \sqrt{4-0,16c²}-0,2c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= -\sqrt{4-0,16c²}-0,2c \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

13.08.2007, 23:42

mylittlehelper

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Zitat:

Original von Olleg89
$\begin{eqnarray*} x= \sqrt{4-0,16c²}-0,2c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x= -\sqrt{4-0,16c²}-0,2c \end{eqnarray*}$
Ist das soweit richtig?

Richtig. Wie gehts nun weiter?

13.08.2007, 23:44

Olleg89

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Ich werde wohl die Zahlen für c suchen müssen für die zwei Lösungen, eine Lösung und keine Lösung entstehen.

13.08.2007, 23:46

mylittlehelper

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Zitat:

Original von Olleg89
Ich werde wohl die Zahlen für c suchen müssen für die zwei Lösungen, eine Lösung und keine Lösung entstehen.

So ist es

. Tipp: Nutze auch die grafische Veranschaulichung.

13.08.2007, 23:49

Olleg89

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Ich habe jetzt für
c=4 genau eine Lösung, also Tangente

c>4, keine Lsg, also Passante

c<4, zwei Lsg., also Sekante

13.08.2007, 23:54

mylittlehelper

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Zitat:

Original von Olleg89
Ich habe jetzt für
c=4 genau eine Lösung, also Tangente

c>4, keine Lsg, also Passante

c<4, zwei Lsg., also Sekante

Das kann nicht stimmen. Wie erhälst du dein Ergebnis?

Probe:

$\begin{eqnarray*} x_1=-0.2\cdot 4+\sqrt{4-0.16\cdot 4^2}=-0,8+1,2=0.4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=-0.2\cdot 4-\sqrt{4-0.16\cdot 4^2}=-0,8+1,2=-2 \end{eqnarray*}$

14.08.2007, 00:00

Olleg89

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Sorry die Zahlen müssen 5 sein.

Das hieße dann

c= $\begin{eqnarray*} \mid 5 \mid \end{eqnarray*}$ ; eine Lösung, also Tangente

c> $\begin{eqnarray*} \mid 5 \mid \end{eqnarray*}$ ; keine Lösung, also Passante

c< $\begin{eqnarray*} \mid 5 \mid \end{eqnarray*}$ ; zwei Lösungen, also Sekante

14.08.2007, 00:06

mylittlehelper

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Zitat:

Original von Olleg89
Sorry die Zahlen müssen 5 sein.

Das hieße dann

c= $\begin{eqnarray*} \mid 5 \mid \end{eqnarray*}$ ; eine Lösung, also Tangente

c> $\begin{eqnarray*} \mid 5 \mid \end{eqnarray*}$ ; keine Lösung, also Passante

c< $\begin{eqnarray*} \mid 5 \mid \end{eqnarray*}$ ; zwei Lösungen, also Sekante

Genau, die Zahlen müssen 5 sein und der Betrag muss hinzu. So ist alles perfekt. Gratulation und gute Nacht! Schläfer

14.08.2007, 00:08

Olleg89

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Merci Merci und geruhsame Nacht.

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