Dichtefunktion

14.08.2007, 15:16

Phil80

Dichtefunktion

Die Dichtefunktion einer stetigen Verteilung laute:

$\begin{eqnarray*} f(x)= ax^{2} (2-x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 2 \end{eqnarray*}$

sonst $\begin{eqnarray*} f(x)= 0 \end{eqnarray*}$

a) Bestimme den Parameter a

im grunde kein Problem nur ein paar Fragen dazu:

a) löse ich durch Normierung von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=\int_{-\infty}^{\infty }f(x)~dx \end{eqnarray*}$ daraus folgt $\begin{eqnarray*} 1=\int_{0}^{2}f(x)~dx \end{eqnarray*}$
und genau das hab ich nicht ganz verstanden warum $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}\ \end{eqnarray*}$

liegt es daran das der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} F(x)= 0 \ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} F(x)= 1 \ \end{eqnarray*}$ ist? Oder einfach nur durch die Bedingung $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 2 \end{eqnarray*}$
verwirrt

Gruß Phil

14.08.2007, 15:19

WebFritzi

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RE: Dichtefunktion

Zitat:

Original von Phil80
und genau das hab ich nicht ganz verstanden warum $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}\ \end{eqnarray*}$

Weil der Träger von f eben nur in [0,2] liegt. Teile doch mal das Integral auf in (-oo,0), [0,2] und (2,oo).

15.08.2007, 10:49

Phil80

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Ok alles klar...

jetzt hab ich nur noch die Frage warum der Grenzwert einer Verteilungsfunktion von einer Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty }F(x)=0 \end{eqnarray*}$ ist ?? Also ein unmögliches Ereignis.

15.08.2007, 12:16

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$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to -\infty} F(x) \end{eqnarray*}$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass die zugehörige Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ Werte annimmt, die kleiner als jede mögliche reelle Zahl sind. Es gibt keine reellen Zahlen, die diese Eigenschaft haben!!!

Was anderes wäre es, wenn du statt reellen Zufallsgrößen welche mit Wertebereich $\begin{eqnarray*} [-\infty,+\infty] \end{eqnarray*}$ betrachten würdest - in dem Fall wären für

$\begin{eqnarray*} P(X=-\infty) = \lim\limits_{x\to -\infty} F(x) \end{eqnarray*}$

auch Werte ungleich Null denkbar. Sowas bezeichnet man aber gemeinhin nicht mehr als reelle Zufallsgrößen. Augenzwinkern

15.08.2007, 13:26

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -\infty} F(x) = \lim_{x\to -\infty} P(X\in (-\infty,x]) \end{eqnarray*}$

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