Aussagen zur Stetigkeit

14.08.2007, 20:43

Arg

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Aussagen zur Stetigkeit

Ich soll folgenden Aussagen beweisen bzw widerlegen.

f und g seien Funktionen:
1. Ist f und g sind unstetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , dann ist auch f+g unstetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .
2. Ist f+g unstetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , dann ist sowohl f als auch g unstetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$
3. Ist f+g unstetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ,dann ist entweder f oder g unstetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

Nun wissen wir :
* Sind $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ stetig mit einem gemeinsamen $\begin{eqnarray*} D_f \end{eqnarray*}$ , so sind auch $\begin{eqnarray*} f + g \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f - g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \cdot g \end{eqnarray*}$ stetig. Ist zusätzlich $\begin{eqnarray*} g(x)\ne 0 \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \in D \end{eqnarray*}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray*} \frac{f}{g} \end{eqnarray*}$ stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .
* Die Komposition $\begin{eqnarray*} f \circ g \end{eqnarray*}$ zweier stetiger Funktionen ist ebenfalls stetig.

Das hilft mir aber denke ich hilft mir nicht weiter weil ich es nicht einfach umdrehen kann, sprich aus unstetigkeit folgt unstetigkeit.

[modedit: stetig, nicht stätig]

Allein die Aufgaben stellung wirt mich etwas -.-

Wäre es richtig wenn ich sage
2 ist flasch und die Richtigkeit z.B $\begin{eqnarray*} (f+g)(x)=x^2+\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ als Gegenbeispiel widerlege.

So jetzt frangen meine Überlegungsprbleme an... in 2 habe ich ja indirekt gezeigt das es 3 für einen Fall gilt. Wäre 3 Falsch müssten müssten f und g unstetig. Aus stetigen f und g kann (laut Def^) keine unstige Funktion f+g folgen. Mir fällt aber kein Gegenbeispiel für Drittens ein , also ist 3 Wahr ? Und wie könnte ich jetzt das Beweisen.
Und wäre nicht der Fakt das mir kein Gegenbeispiel zu 3 einfällt gleichzeitig ein Zeichen dafür das 1. Falsch ist ? *Verwirrt*

14.08.2007, 20:46

Arg

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Sry für die miese Formulierung und die Rechtschreibfehler -.-
Ich sollte mir ne Runde schlaf gönnen.

14.08.2007, 20:49

system-agent

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um zu zeigen, dass eine aussage falsch ist, reicht ein gegenbeispiel wunderbar aus !

14.08.2007, 21:15

Arg

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Hm ok , sagt aber nicht 1. und 3 nicht das gleiche aus ?

14.08.2007, 21:41

Dual Space

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Bei 1. sind sowohl f als auch g unstetig, hingegen bei 3. nur eine der beiden Funktionen.

14.08.2007, 22:02

Arg

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Alles Klar , meineserachtens ist die Aussage 1. ( Bitte koorigiert mich wenn ich
falsch liege) , da es sich um eine einfache Addition handelt und damit die [latex]x_0[\latex] in f+g übernommen wird das [latex]x_0[\latex] sowohl in f als auch g liegt.
Aber wir kann ich sowas Allgemein nachweisen? Hat das vielleicht wer nen Ansatz. ?

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14.08.2007, 22:12

WebFritzi

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Zitat:

Original von Arg
Alles Klar , meineserachtens ist die Aussage 1. ( Bitte koorigiert mich wenn ich
falsch liege) , da es sich um eine einfache Addition handelt und damit die [latex]x_0[\latex] in f+g übernommen wird das [latex]x_0[\latex] sowohl in f als auch g liegt.
Aber wir kann ich sowas Allgemein nachweisen? Hat das vielleicht wer nen Ansatz. ?

Wie meinen?

14.08.2007, 22:28

Dual Space

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Zitat:

Original von WebFritzi
Wie meinen?

Na da bin ich ja beruigt, dass ich nicht der einzige bin, der dieses Gestammele nicht deuten kann. Big Laugh

Big Laugh

14.08.2007, 22:44

arg

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Tut Mir Leid Hammer

Hammer

Die letzten Tage waren lang und die Nächte um so kürzer...

Ich meinte ,wie ich einen allgemeinen Beweis führen kann dafür die Aussage 1. richtig ist.
Wie gesagt , meine Vermutung ist das Aussage 1 richtig und nun fehlt mir der Ansatz für den all.Beweis.

14.08.2007, 22:45

Airblader

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Tipp:
Sie ist nicht richtig Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schau dir z.B. mal

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases}1 & x > 0\\0 & x \leq 0\end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = \begin{cases}0 & x > 0\\1 & x \leq 0\end{cases} \end{eqnarray*}$

an

air

14.08.2007, 22:55

mylittlehelper

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Ich hab gerade drüber nachgedacht, ob man den Widerspruch auch mit einer nicht-zusammengesetzten Funktion hinbekommt. Hab aber noch nichts gefunden.

Edith sagt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=1+\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=-\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ .

Die Welt kann doch so schön einfach sein. smile

smile

14.08.2007, 23:03

arg

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Ok ,beide Fktn sind nicht stetig in x=0 weil linksseitiger und rechtseitiger Grenzwert nicht gleich sind.
Also liegt ein Sprung vor...
Aber wir soll davon die Addition aussehen , also (f+g)(x)?
Doch nicht $\begin{eqnarray*} (f+g)(x):=\begin{cases} 1 , x>0 \\ 1, x\leq 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ oder ?

14.08.2007, 23:09

Arg

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Ohh mylittlehelper ... ich seh gerade deins ...man ist das einfach -.-
Danke Big Laugh

Big Laugh

PS: Denn anderen danke ich auch!

14.08.2007, 23:23

Airblader

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f(x) = 1/x ist aber nicht unstetig in x=0, sondern nur undefiniert smile

smile

Es ist sogar jede rationale Funktion stetig (in ihrem Def.-bereich. Außerhalb davon ist eine Diskussion darüber unsinnig)

air

Edit:
Und warum sollte die Addition nicht so aussehen? Ist doch "logisch", dass es so aussieht ("normale" Fkt. zu addieren funktioniert nicht anders)

15.08.2007, 00:04

arg

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^^ Hab noch nie mit Funktionen in solcher Form addiert und bevor ich irgend etwas vergess frag ich mal lieber...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist aber unstetig für $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} f(x):=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ für x = 0 nicht definiert und die linke und rechte grenzwert für x gegen 0 unterschiedlich ist bzw einmal gegen + unendlich und einmal - unendlich strebt, (womit die Definitionslücke auch nicht behebar ist).
Kann man das so sagen?

15.08.2007, 00:09

Airblader

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Man kann sagen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 1/x \end{eqnarray*}$ ist stetig für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ , also im Def.bereich (und damit ist f sogar komplett stetig! Aber eben nicht bei x=0, was eben nicht im Def.-bereich liegt)
Für $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ ist es Unsinn zu sagen, sie ist stetig oder unstetig - die Diskussion ist sinnlos.

Warum? Nun, die Def. von Stetigkeit (zumindest eine Möglichkeit, das kompliziertere Epsilon-Delta-Kriterium schafft da aber nichts anderes), wäre (in diesem Fall): $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \end{eqnarray*}$ . Das sollst du mir nun mal zeigen oder wiederlegen - wegen der Undefiniertheit bei x=0 ist es eben nicht möglich, egal, ob du die Grenzwerte für x->0+ und x->0- kennst.

air

15.08.2007, 07:27

Dual Space

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Airblader hat vollkommen recht, dass eine Stetigkeitsuntersuchung nur für Punkte des Definitionsbereiches sinnvoll sind.

Aber betrachten wir ruig weiter die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt offenbar (wie auch arg anmerkte)

$\begin{eqnarray*} -\infty=\lim_{x\to 0-}f(x)<\lim_{x\to 0+} f(x)=\infty. \end{eqnarray*}$

Dennoch ist die Funktion auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig. Wir haben hier also ein Paradebeispiel, welches die "Schuldefiniton" von Stetigkeit (Graph zeichnen ohne Stift abzusetzen) widerlegt.

15.08.2007, 11:24

Airblader

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Meine Aussage möchte ich vorsichtshalber noch präzisieren:

Sei $\begin{eqnarray*} D = \mathbb R \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} f: D \rightarrow \mathbb R \text{ mit } f(x) := \frac{1}{x} \text{ ist stetig.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \text{ mit } g(x) := \frac{1}{x} \text{ ist nicht stetig.} \end{eqnarray*}$

(Edit Das hier ignorieren. Siehe WebFritzi (Danke Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

air
Edit: 2 verschiedene Bezeichnungen für die Abbildungen eingeführt.

15.08.2007, 13:24

WebFritzi

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Zitat:

Original von Airblader
$\begin{eqnarray*} g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \text{ mit } g(x) := \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

ist Quatsch.

15.08.2007, 13:35

Airblader

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Ups. Stimmt Big Laugh

Big Laugh

Habs reineditiert, Danke (Darf man das "übervorsichtig" nennen?)

air

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