Abstand berechnen

14.08.2007, 23:40

Riegel

Abstand berechnen

Hallo!

Ich würde gerne wissen wie der Abstand bei folgenden Aufgaben berechnet wird:

Gegeben ist der
Punkt B $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Punkt C $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und die Gerade $\begin{eqnarray*} g : \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aufgabe ist:
a) Abstand von g und $\begin{eqnarray*} ^gBC \end{eqnarray*}$ berechnen
b) Abstand von B zu g berechnen

Bei a) sind zwei verschiedene Geraden gegeben gBC hab ich schon aufgestellt.
Ich hoffe es ist richtig $\begin{eqnarray*} g : \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ich habe C-B gerechnet und B als Stützvektor genommen

wie kriegt man den Abstand von Aufgabe a) und b)?

14.08.2007, 23:53

tmo

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also bei b) musst du den Fußpunkt F des Lotes von B auf g berechnen.

Da hast du prinzipiell 2 möglichkeiten:
- du bestimmst die ebene durch B, welche orthogonal zu g ist und bestimmst dann den durchstoßpunkt.

- du nutzt aus, dass F auf g liegt und BF orthogonal zu g ist.

zu a) schon mal was vom abstand windschiefer geraden gehört? damit ist die länge des gemeinsamen lotes gemeint.

zuerst müsstest du natürlich zeigen, dass die geraden windschief sind, sonst ist der abstand natürlich 0.

14.08.2007, 23:56

aRo

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naja, sie könnten auch parallel sein, sind sie hier aber offensichtlich nicht.
Deine Gerade hast du schon einmal richtig aufgestellt, bennene sie jedoch nicht auch $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ sondern lieber $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ oder so smile

15.08.2007, 00:13

riwe

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du kannst auch "konsequent" sein und benutzen, dass das skalarprodukt senkrechter vektoren null ist.

abstand des punktes B:

$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} )\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

ergibt die koordinaten des lotes

abstand der beiden geraden:

$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}-r \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} )\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}-r \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} )\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ -1\\ -2 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

liefert die beiden punkte auf g und h deren abstand gefragt ist.

15.08.2007, 00:23

tmo

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warum immer gleich den kompletten ansatz hinschreiben?

meine information "du nutzt aus, dass F auf g liegt und BF orthogonal zu g ist." hätte ihn auch auf diese gleichung mit dem skalaprodukt geführt, wenn er ein wenig nachgedacht hätte unglücklich

15.08.2007, 00:25

riwe

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Zitat:

Original von tmo
warum immer gleich den kompletten ansatz hinschreiben?

meine information "du nutzt aus, dass F auf g liegt und BF orthogonal zu g ist." hätte ihn auch auf diese gleichung mit dem skalaprodukt geführt, wenn er ein wenig nachgedacht hätte unglücklich

noch bin ich der moderator,
und ich mach´s auf meine weise
und du auf deine Big Laugh

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