Vektoralgebra - Ebenenproblem

25.02.2005, 20:32	AgentSmith	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoralgebra - Ebenenproblem Hallo Leute, bin ganz neu hier und find echt gut dass es das Matheboard gibt! Finds auch echt gut gemacht! Ich hab ein Problem in der Vektroalgebra. Das Problem stellt sich wie folgt dar: Ich habe zwei Ebenen in dieser Form vorgegeben, also: e1: x= r1 + q a + u b e2: x= r2 + q a + u b r1, a, b von e1 sehen wie folgt aus: e1: r1 = (1; -1; 2), a = (1 ; 0; -2), b= (0; 1; 2) Die beiden Vektoren in Ebene e2 (a,b) und der Punkt r1 enthalten jeweils eine Unbekannte, also: e2: r2 = (-2; a; 0), a = (1 ; -2; b), b= (c; 2; 8) Die Aufgabe besteht darin die Unbekannten a,b,c so zu wählen das beide Ebenen zusammenfallen d.h. die gleiche Ebene darstellen. Dies ist ja der Fall wenn der Abstand zw. beiden 0 ist (d=0), dazu müssen sie aber ersteinmal paralell sein. Paralell sind sie ja dann wenn n1 x n2 = 0 ist. D.h. wenn das Vektorprodukt der beiden Normalenvektoren, die auf der Ebene stehen, 0 ist. Ich habe b,c so gewählt (ausprobiert) dass der Normalenvektor n2 gleich dem Nullvektor ist (geht das überhaupt?) und somit ergibt ja n1 x n2 = 0, also sind die beiden Ebenen paralell, soweit so gut. Berechne ich nun den Abstand der beiden Ebenen zueinander und verwende n2 (wegen dem Nullvektor) statt n1 in der Abstandsformel dann habe ich über dem Bruchstrich eine 0 stehen aber das schlimme ist unter dem Bruchstrich auch :-( (Division durch Null) Ich glaube so funktioniert das nicht, es wäre echt nett wenn mir jemand von euch weiterhelfen könnte. Viele Grüße und im vorraus vielen vielen Dank, Michael
25.02.2005, 22:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Bezeichnungen sind etwas wirr. So verwendest du z.B. den Buchstaben a zweimal, einmal als Name für einen Vektor, einmal als Name für einen Parameter. Und ebenso mit b. Das sollte man nicht tun. Für einen Normalenvektor der ersten Ebene errechnet man $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , und bei der zweiten Ebene $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -16-2b \\ bc-8 \\ 2+2c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Damit der letzte Vektor überhaupt ein korrekter Normalenvektor ist, darf er nicht der Nullvektor sein, die Kombination $\begin{eqnarray} b=-8, \ c=-1 \end{eqnarray}$ ist somit unzulässig. Damit erhält man die beiden Ebenengleichungen $\begin{eqnarray} 2x_1 - 2x_2 + x_3 = 6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (-16-2b)x_1 + (bc-8)x_2 + (2+2c)x_3 = abc - 8a + 4b +32 \end{eqnarray}$ Diese beiden Gleichungen stellen genau dann dieselbe Ebene dar, wenn sie Vielfache voneinander sind, wenn also gilt $\begin{eqnarray} \frac{-16-2b}{2} = \frac{bc-8}{-2} = \frac{2+2c}{1} = \frac{abc - 8a + 4b +32}{6} \end{eqnarray}$ Der Vergleich des ersten und dritten Ausdrucks liefert einen Zusammenhang zwischen $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ . Löst man diesen nach $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ auf und setzt man dies in den zweiten Ausdruck ein, so bestimmen der zweite und dritte Ausdruck eine quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ . Damit kann man $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ berechnen (zwei Lösungen) und schließlich auch $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ . Und jetzt muß man nur noch aufpassen, daß man sich nicht fälschlich für die oben verbotene Kombination von $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ entscheidet.

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