Volumen einer Menge

15.08.2007, 15:40

mopar

Volumen einer Menge

Hallo Ich will von der gegebenen Menge $\begin{eqnarray*} G:=[(x,y) \in \mathbb R ^{2} | 0 \leq x \leq -y^{2} + 4y -3 ] \end{eqnarray*}$ das Volumen des Drehkörpers der bei der Drehung um die X- Achse entsteht berechnen.

Ich hab die Funktion mal Folgendermaßen umgeformt $\begin{eqnarray*} y = \pm \sqrt{-x+1} +2 \end{eqnarray*}$ . Wenn ich das nun in die Volumenformel einsetze bekomme ich das Integral $\begin{eqnarray*} \pi \int_{b}^{a}~ (\sqrt{-x+1} +2)^{2}~dx = \pi \int_{b}^{a}~ \sqrt{-x+1} +2~dx - \pi \int_{b}^{a}~ -\sqrt{-x+1} +2~dx \end{eqnarray*}$ Wegen oberer - unterer Funktion.
Meine Frage ist nun: Ist das bis hierhin richtig?? Also muss ich die Funktion quasi nach y auflösen und dann das mit oberer - unterer Funktion ??
Und wie finde ich die Integrationsgrenzen ?? Da komm ich irgendwie nicht drauf. Wäre toll wenn mir jemand helfen könnte.

15.08.2007, 17:26

mylittlehelper

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RE: Volumen einer Menge

Zitat:

Original von mopar
Und wie finde ich die Integrationsgrenzen ?? Da komm ich irgendwie nicht drauf. Wäre toll wenn mir jemand helfen könnte.

Wenn du dir den Graph anschaust, findest du zumindest die Beschränkung nach rechts leicht. Nach links (für $\begin{eqnarray*} x \to -\infty \end{eqnarray*}$ ) ist die Kurve unbeschränkt. Entweder du hast noch eine Zusatzbedingung oder du setzt diese Grenze als Parameter $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ (wie du dies in den allg. Integralen ja schon verwendest).

EDIT:

Die Zusatzbedingung steht doch in deiner Menge: $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht.

http://img510.imageshack.us/img510/944/funktion1nb1.th.png

15.08.2007, 17:30

mylittlehelper

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RE: Volumen einer Menge

Zitat:

Original von mopar
Ist das bis hierhin richtig?? Also muss ich die Funktion quasi nach y auflösen und dann das mit oberer - unterer Funktion ??

Du hast die Funktion korrekt nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ umgestellt und ebenfalls korrekt die Integrale aufgestellt. Nun musst du "nur" noch das Ergebnis berechnen.

Analog zu den Flächen berechnest du hier äußeres Volumen minus inneres Volumen. Zur Anschauung hab ich dir mal den Körper gezeichnet (bzw. zeichnen lassen).

http://img510.imageshack.us/img510/3710/rota1ni0.th.png

http://img510.imageshack.us/img510/3210/rota2nf7.th.png

15.08.2007, 21:52

magneto42

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Hallo.

Falls es noch von Interesse ist, habe ich einen alternativen Ansatz mittels der 1. Guldin'schen Regel. Ausgehend vom Funktionsgraphen, den mylittehelper gezeichnet hat, kann man leicht die Fläche $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zwischen Graph und y-Achse bestimmen; die y-Komponente $\begin{eqnarray*} y_s \end{eqnarray*}$ des Schwerpunktes läßt sich ebenfalls leicht ermitteln. Das Volumen des Rotationskörpers um die x-Achse ist dann:

$\begin{eqnarray*} V = 2 \cdot \pi \cdot y_s \cdot A \end{eqnarray*}$

15.08.2007, 22:34

mopar

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hallo

danke für eure schnelle Hilfe. Ihr habt mir echt weitergeholfen. Vielen Dank. Vor allem die gezeichneten Graphen der Kurve haben mir sehr geholfen. Sie haben mir das echt veranschaulicht, so sieht man mal was man denn da eigentlich berechnet.

@ mylittlehelper : Mit welchem Programm hast du denn das gezeichnet?
@ magneto42 : Danke für den alternativen Ansatz werde ihn mir auf jeden Fall mal anschauen und mein nach dem ersten Weg berechnetes Ergebnis zu prüfen ;-)

15.08.2007, 23:18

mylittlehelper

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Zitat:

Original von mopar
@ mylittlehelper : Mit welchem Programm hast du denn das gezeichnet?

Ich hab MuPad verwendet, da ich für dieses ne Studentenlizenz habe und dieses - laut meinem Prof. für Computer-Algebra - auch die beste Grafikengine hat. Bei Interesse kann ich dir auch die Befehle angeben.

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