Parameteraufgabe

15.08.2007, 22:07	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Parameteraufgabe Guten Abend. Kann mir jemand einen sinnvollen Ansatz zu der folgenden Aufgabe sagen? Gegeben sind $\begin{eqnarray} E_{1}: \vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ a \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} b \\ c \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E_{2}: \vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + m \begin{pmatrix} d \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Wie müssen die reellen Zahlen a, b, c und d gewählt werden, damit sich die beiden Ebenen $\begin{eqnarray} E_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E_{2} \end{eqnarray}$ schneiden? Wir haben zwar schon die Ermittlung von Lagebeziehungen zweier Ebenen ohne solche Parameter besprochen, aber wie ich hier vorgehen soll, ist mir etwas schleierhaft. Ich habe versucht, aus den zwei Gleichungen ein LGS zu machen und dann k durch m auszudrücken, um irgendwie an die (noch nicht vorhandene) Schnittgerade zu kommen. Aber abgesehen davon, dass dabei höllische Brüche herauskommen, bin ich mir auch nicht sicher, ob der Ansatz, den ich verfolge, überhaupt der Richtige ist. Ich hoffe, dass mir da jemand auf die Sprünge helfen kann.
15.08.2007, 23:26	mylittlehelper	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parameteraufgabe Zwei Ebenen haben im dreidimensionalen Anschauungsraum nur genau 2 Möglichkeite: Entweder sie schneiden sich oder sie sind parallel. Es gibt dabei viele Möglichkeiten dafür wie sie sich schneiden (Variation des Schnittwinkels) aber nur genau eine Möglichkeit, dass sie parallel sind. Also versuchen wir diese zu finden. Dabei noch folgender Tipp: Zwei Ebenen sind parallel genau dann, wenn ihre Normalenvektoren linear abhängig sind. EDIT: Wenn die Ebenen identisch sind, so würde man streng genommen nicht von "schneiden" sprechen. Daher spielt $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ in der Aufgabe keine Rolle. Welche Werte sind für $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ unzulässig? Was würde dann passieren, wenn sie doch diese Werte annehmen? EDIT2: Hier mal die Ergebnisse für Parallelität, damit du was zum Vergleichen hast. Sei $\begin{eqnarray} k\in\mathbb{R}\setminus\{0\} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} b=2k+2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} c=3k-2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} d=-1 \end{eqnarray}$
16.08.2007, 00:27	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Lösungen sind zwar etwas anders, aber dank deiner Hilfe hat es geklappt. Vielen Dank. Meine Lösung ist: $\begin{eqnarray} b=k+4 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} c=1,5k+1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d=-1 \end{eqnarray}$ .

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