Lageaufgabe mit zwei Unbekannten

15.08.2007, 23:01

miwo

Lageaufgabe mit zwei Unbekannten

Folgende Aufgabe lässt mir einfach keine Ruhe:

Gegeben ist die Gerade g. Bestimme die Zahlen p, q in der Parameterdarstellung für die Geraden h(p,q) so, dass eine zu g parallele Gerade entsteht. Falls das nicht möglich ist, begründe dies auch anschaulich.

g: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

h(p,q): $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \gamma \cdot \begin{pmatrix} p \\ q \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe folgende Rechnung:

Ich weiß zwar nicht, wie man diesen Schritt nennt, aber ich habe nachgerechnet ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind:

I. 3t = p
II. -t = q
III. 2t = 0

Schaut man sich die dritte Gleichung an, sieht man, dass t = 0 ist. Wenn man davon ausgeht, dass eine zu g parallele Gerade entstehen soll, dann muss t in jeder Gleichung gleich groß sein. Deswegen sind p und q auch gleich Null.

Den Vektor kann man nun in die Geradengleichung von g einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da der Ortsvektor von h(p,q) kein Vektor von g ist, sind die Geraden parallel zu einander.

So... ist dieser Rechenweg richtig?

Ich bedanke mich schon Mal bei euch für eure Hilfe!

15.08.2007, 23:08

tmo

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RE: Lageaufgabe mit zwei Unbekannten

Zitat:

Original von miwo
Deswegen sind p und q auch gleich Null.

bis hierhin ist alles richtig, aber schonmal nen nullvektor als richtungsvektor gesehen?

16.08.2007, 02:00

WebFritzi

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Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn ihre Richtungsvektoren in dieselbe Richtung zeigen. Kann es hier p und q geben, so dass das der Fall ist? Mal es dir mal auf.

16.08.2007, 10:16

miwo

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Also verstehe ich das jetzt richtig, dass wenn die Richtungsvektoren keine Vielfache voneinander sind, sie nicht zu einander parallel sein können?

16.08.2007, 10:23

Bjoern1982

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Genau

16.08.2007, 11:13

aRo

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deine Argumentation ist richtig. Im letzten Schritt überprüfst du dann noch, ob die beiden Geraden nicht etwa vielleicht sogar gleich sind. Ein durchaus sinnvoller Schritt.
Den kannst du dir in diesem Falle aber sparen, wenn du beachtest, was tmo schon gesagt hast. In deinem Fall wäre $\begin{eqnarray*} p=q=0 \end{eqnarray*}$ und damit der Nullvektor Richtungsvektor, was aber keinen Sinn macht.

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